51、视觉模型：从跟踪到视觉词建模的深入剖析

视觉模型：从跟踪到视觉词建模的深入剖析

1. 跟踪模型概述

跟踪模型在计算机视觉领域有着广泛的应用，可用于行人跟踪、轮廓跟踪、点跟踪、3D 手模型和 3D 身体模型跟踪等，还能用于活动识别、深度估计、同时定位与地图构建（SLAM）以及对象识别等任务。

1.1 跟踪模型的类型

• 卡尔曼滤波器（Kalman Filter） ：由 Kalman（1960）和 Kalman 与 Bucy（1961）最初开发，是一种常用的线性滤波方法，用于估计系统的状态。
• 无迹卡尔曼滤波器（Unscented Kalman Filter） ：由 Julier 和 Uhlmann（1997）开发，是卡尔曼滤波器的一种扩展，适用于非线性系统。
• 凝聚算法（Condensation Algorithm） ：由 Blake 和 Isard（1996）提出，用于处理复杂的跟踪问题。

1.2 跟踪模型的应用案例

应用场景	具体描述
行人跟踪	Rosales 和 Sclaroff（1999）、Beymer 和 Konolige（1999）的研究
轮廓跟踪	Terzopolous 和 Szeliski（1992）、Blake 等人（1993、1995）、Blake 和 Isard（1996、1998）的工作
点跟踪	Broida 和 Chellappa（1986）的研究
3D 手模型跟踪	Stenger 等人（2001b）的工作
3D 身体模型跟踪	Wang 等人（2008）的研究

1.3 跟踪模型的问题与挑战

虽然跟踪模型有很多应用，但在实际使用中也存在一些问题，例如如何学习跟踪模型的参数。在实践中，手动设置这些参数是常见的做法，但也有一些研究探讨了如何通过数据学习这些参数，如 Shumway 和 Stoffer（1982）、Ghahramani 和 Hinton（1996a）、Roweis 和 Ghahramani（2001）以及 Oh 等人（2005）的工作。

1.4 跟踪模型的相关推导

以下是一些跟踪模型中的重要推导：
- 查普曼 - 柯尔莫哥洛夫关系（Chapman–Kolmogorov relation）证明 ：
[
\begin{align }
Pr(w_t|x_{1…t - 1})&=\int Pr(w_t|w_{t - 1})Pr(w_{t - 1}|x_{1…t - 1}) dw_{t - 1}\
&=\int Norm_{w_t}[\mu_p + \Psi w_{t - 1},\Sigma_p]Norm_{w_{t - 1}}[\mu_{t - 1},\Sigma_{t - 1}] dw_{t - 1}\
&= Norm_{w_t}[\mu_p + \Psi \mu_{t - 1},\Sigma_p + \Psi \Sigma_{t - 1}\Psi^T]
\end{align }
]
- 卡尔曼滤波器的测量合并步骤推导 ：
[
\begin{align }
Pr(w_t|x_{1…t})&=\frac{Pr(x_t|w_t)Pr(w_t|w_{1…t - 1},x_{1…t})}{Pr(x_{1…t})}\
&=\frac{Norm_{x_t}[\mu_m + \Phi w_t,\Sigma_m]Norm_{w_t}[\mu_+,\Sigma_+]}{Pr(x_{1…t})}\
&= Norm_{w_t}\left[\left(\Phi^T \Sigma_m^{-1} \Phi + \Sigma_+^{-1}\right)^{-1} \left(\Phi^T \Sigma_m^{-1} (x_t - \mu_m) + \Sigma_+^{-1} \mu_+\right), \left(\Phi^T \Sigma_m^{-1} \Phi + \Sigma_+^{-1}\right)^{-1}\right]
\end{align }
]

2. 同时定位与地图构建（SLAM）

SLAM 起源于机器人领域，旨在解决机器人在未知环境中同时确定自身位置和构建环境地图的问题。

2.1 SLAM 的发展历程

• 早期，机器人领域的研究人员关注车辆在探索环境时对空间不确定性的表示，如 Durrant-Whyte（1988）和 Smith 与 Cheeseman（1987）的工作。
• 后来，Durrant-Whyte 等人（1996）提出了 SLAM 这个术语。
• Smith 等人（1990）发现由于相机位置的不确定性，映射位置的误差是相关的。
• 基于视觉的 SLAM 起源于 Harris 和 Pike（1987）、Ayache（1991）以及 Beardsley 等人（1995）的开创性工作。

2.2 SLAM 系统的实现方法

SLAM 系统通常基于扩展卡尔曼滤波器（Extended Kalman Filter）或 Rao-Blackwellized 粒子滤波器（Rao-Blackwellized Particle Filter）。
- 扩展卡尔曼滤波器 ：Guivant 和 Nebot（2001）、Leonard 和 Feder（2000）、Davison 等人（2007）的研究采用了这种方法。
- Rao-Blackwellized 粒子滤波器 ：Montemerlo 等人（2002、2003）、Sim 等人（2005）的工作使用了该方法。

2.3 SLAM 的研究现状与挑战

目前，关于是否需要这种跟踪方法存在一些争议，一些研究认为对战术选择的 3D 点子集进行重复束调整可能就足够了（Strasdat 等人，2010）。当前 SLAM 的研究问题包括如何有效地匹配图像中的特征与当前模型中的特征（Handa 等人，2010）以及如何在地图中闭合回路（即识别机器人是否回到了熟悉的地方）（Newman 和 Ho，2005）。

2.4 SLAM 系统的示例

近年来，有许多高效的视觉 SLAM 系统被提出，如 Nistér 等人（2004）、Davison 等人（2007）、Klein 和 Murray（2007）、Mei 等人（2009）以及 Newcombe 等人（2011）的工作，其中大多数算法都包含了束调整过程。

graph LR
    A[开始] --> B[初始化]
    B --> C[运动估计]
    C --> D[特征匹配]
    D --> E[地图更新]
    E --> F{是否结束}
    F -- 否 --> C
    F -- 是 --> G[结束]

3. 视觉词模型

在大多数模型中，观测数据被视为连续的，但在视觉词模型中，我们将观测数据视为离散的，并使用分类分布来描述数据的似然性。

3.1 图像作为视觉词集合

将图像编码为视觉词集合的过程如下：
1. 建立字典 ：
- 从大量未标记的训练图像中选择空间位置，可以通过识别兴趣点或规则网格采样。
- 计算每个空间位置的描述符，如 SIFT 描述符。
- 使用 K-means 算法将描述符向量聚类成 K 组。
- 将 K 个聚类的均值作为字典中的 K 个原型向量。
2. 计算视觉词 ：
- 使用与字典相同的方法选择新图像中的空间位置。
- 计算每个位置的描述符。
- 将每个描述符与字典中的原型描述符进行比较，找到最接近的原型（视觉词）。
- 为该位置分配对应于最接近单词索引的离散索引。

3.2 词袋模型（Bag of Words）

词袋模型是一种简单的图像表示方法，它完全丢弃了单词位置的空间信息，只保留单词索引。

3.2.1 模型原理

目标是推断一个离散变量 $w \in {1,2,\cdots,N}$，表示图像中存在的 N 个类别中的哪一个。使用生成方法，分别对每个类别进行建模，数据的概率用分类分布描述：
[
Pr(x|w = n) = \prod_{j = 1}^{J} Cat_{f_j}[\lambda_n] = \prod_{k = 1}^{K} \lambda_{kn}^{T_k}
]
其中，$T_k$ 是第 k 个单词被观察到的总次数：
[
T_k = \sum_{j = 1}^{J} \delta[f_j - k]
]

3.2.2 学习过程

学习的目标是基于标记的对 ${x_i,w_i}$ 估计参数 ${\lambda_n} {n = 1}^{N}$。由于第 n 个参数向量 $\lambda_n$ 仅在世界状态 $w_i = n$ 时使用，因此可以分别学习每个参数向量。如果应用具有均匀参数 $\alpha = [\alpha,\alpha,\cdots,\alpha]$ 的狄利克雷先验，则分类参数的最大后验（MAP）估计为：
[
\hat{\lambda} {nk} = \frac{\sum_{i \in S_n} T_{ik} + \alpha - 1}{\sum_{k = 1}^{K} (\sum_{i \in S_n} T_{ik} + \alpha - 1)}
]

3.2.3 推理过程

使用贝叶斯规则进行推理：
[
Pr(w = n|x) = \frac{Pr(x|w = n)Pr(w = n)}{\sum_{n = 1}^{N} Pr(x|w = n)Pr(w = n)}
]
其中，根据每个世界类型的相对频率分配合适的先验概率 $Pr(w = n)$。

3.3 潜在狄利克雷分配（Latent Dirichlet Allocation）

潜在狄利克雷分配是一种中间模型，与词袋模型有两个重要区别：
- 词袋模型描述单个图像中视觉词的相对频率，而潜在狄利克雷分配描述多个图像中视觉词的出现情况。
- 词袋模型假设图像中的每个单词是完全独立生成的，而潜在狄利克雷分配中，与每个图像相关的隐藏变量会导致单词频率的更复杂分布。

3.3.1 模型原理

在潜在狄利克雷分配中，图像中的单词被表示为分类分布的混合。混合权重取决于图像，但分类分布的参数在所有图像中共享：
[
\begin{cases}
Pr(p_{ij}) = Cat_{p_{ij}}[\pi_i]\
Pr(f_{ij}|p_{ij}) = Cat_{f_{ij}}[\lambda_{p_{ij}}]
\end{cases}
]
其中，$i$ 索引图像，$j$ 索引单词。第一个方程表示与第 i 个图像中第 j 个单词相关的部分标签 $p_{ij} \in {1,2,\cdots,M}$ 从具有参数 $\pi_i$ 的分类分布中抽取；第二个方程表示实际视觉单词 $f_{ij}$ 的选择是一个分类分布，其参数 $\lambda_{p_{ij}}$ 取决于部分。

3.3.2 最终密度计算

通过对部分标签（隐藏变量）进行边缘化得到单词的最终密度：
[
Pr(f_{ij}) = \sum_{m = 1}^{M} Pr(f_{ij}|p_{ij} = m)Pr(p_{ij} = m)
]

3.3.3 先验定义

为参数 ${\pi_i} {i = 1}^{I}$ 和 ${\lambda_m} {m = 1}^{M}$ 定义共轭狄利克雷先验：
[
\begin{cases}
Pr(\pi_i) = Dir_{\pi_i}[\alpha]\
Pr(\lambda_m) = Dir_{\lambda_m}[\beta]
\end{cases}
]
其中，$\alpha = [\alpha,\alpha,\cdots,\alpha]$ 和 $\beta = [\beta,\beta,\cdots,\beta]$。

潜在狄利克雷分配是一组图像数据的密度模型，目前不涉及我们希望推断的“世界”项，后续模型会重新引入世界项并用于视觉问题的推理。

4. 词袋模型与潜在狄利克雷分配模型对比

4.1 模型特点对比

模型	描述范围	独立性假设	应用场景
词袋模型	单个图像中视觉词相对频率	图像中每个单词独立生成	场景和对象识别
潜在狄利克雷分配	多个图像中视觉词出现情况	隐藏变量诱导复杂单词频率分布	为更复杂视觉模型提供基础

4.2 优缺点分析

• 词袋模型
  • 优点 ：简单易实现，在对象识别任务中表现良好，如 Csurka 等人实现了 72% 的正确分类率。
  • 缺点 ：假设单词独立生成不符合实际；忽略空间信息，无法确定对象位置；不适合描述单张图像中的多个对象。
• 潜在狄利克雷分配
  • 优点 ：考虑了单词之间的相关性，通过隐藏变量诱导更复杂的分布。
  • 缺点 ：在最基本形式下，对视觉应用的实用性有限。

4.3 应用拓展对比

词袋模型可通过将归一化单词频率向量作为连续变量，并应用核化判别分类器进一步提高性能。而潜在狄利克雷分配虽然目前不涉及“世界”项推断，但为后续更复杂的视觉模型奠定了基础。

graph LR
    A[词袋模型] --> B[简单易实现]
    A --> C[忽略空间信息]
    D[潜在狄利克雷分配] --> E[考虑单词相关性]
    D --> F[基础模型]

5. 视觉模型的实际应用与挑战

5.1 实际应用案例

• 跟踪模型 ：在行人跟踪、轮廓跟踪、点跟踪等方面发挥重要作用，帮助实现智能监控、自动驾驶等应用。
• SLAM 系统 ：用于机器人在未知环境中的导航和地图构建，如室内服务机器人、无人机等。
• 视觉词模型 ：在场景和对象识别中广泛应用，如智能相册分类、图像搜索等。

5.2 面临的挑战

• 跟踪模型 ：参数学习困难，手动设置参数效率低且难以达到最优效果。
• SLAM 系统 ：关于是否需要特定跟踪方法存在争议，特征匹配和回路闭合问题仍待解决。
• 视觉词模型 ：词袋模型忽略空间信息，潜在狄利克雷分配在基本形式下实用性有限。

5.3 未来发展方向

• 跟踪模型 ：研究更有效的参数学习方法，结合深度学习技术提高跟踪性能。
• SLAM 系统 ：探索更高效的特征匹配算法，解决回路闭合问题，提高地图构建的准确性。
• 视觉词模型 ：改进词袋模型，引入空间信息；拓展潜在狄利克雷分配模型，使其在视觉应用中发挥更大作用。

6. 总结

本文深入剖析了计算机视觉领域的多种模型，包括跟踪模型、SLAM 系统和视觉词模型。跟踪模型在目标跟踪方面有广泛应用，但参数学习是一个挑战；SLAM 系统为机器人在未知环境中的导航和地图构建提供了解决方案，但仍存在一些争议和问题；视觉词模型通过将图像表示为视觉词集合，在场景和对象识别中取得了一定的成果，词袋模型简单有效，潜在狄利克雷分配为更复杂模型提供了基础。

未来，随着技术的不断发展，这些模型有望在更多领域得到应用，并不断改进和完善。我们期待这些模型能够为计算机视觉领域带来更多的突破和创新。