20、图模型与链树模型详解

图模型与链树模型详解

1. 图模型概述

图模型主要分为有向图模型和无向图模型，它们分别代表了联合分布的不同因式分解类型。图模型蕴含着一组独立性和条件独立性关系，存在一些集合只能由有向图模型表示，一些只能由无向图模型表示，一些两者都能表示，还有一些两者都无法表示。

常见的视觉模型具有稀疏连接，因此存在许多条件独立性关系。由于这些模型中的世界状态通常是高维的，所以会讨论包括最大边际和采样在内的替代推理形式。

在采样和学习方面，一般来说，从有向图模型中抽取样本更为直接，学习有向图模型也更容易。而一般无向图模型最著名的学习算法需要抽取样本，这本身就具有挑战性。

2. 图模型问题实例

以下是一些涉及图模型的具体问题：
1. 问题10.1 ：变量 ${x_i} {i=1}^7$ 之间的联合概率模型因式分解为：
$Pr(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7) = Pr(x_1)Pr(x_3)Pr(x_7)Pr(x_2|x_1,x_3)Pr(x_5|x_7,x_2)Pr(x_4|x_2)Pr(x_6|x_5,x_4)$。
需要绘制关联这些变量的有向图模型，并找出变量 $x_2$ 的马尔可夫毯。
2. 问题10.2 ：写出图中对应有向图模型的因式分解。
3. 问题10.3 ：无向图模型形式为 $Pr(x_1 \cdots x_6) = \frac{1}{Z} \varphi_1[x_1,x_2,x_5]\varphi_2[x_2,x_3,x_4]\varphi_3[