13、回归与分类模型：原理、应用与实现

回归与分类模型：原理、应用与实现

在机器学习领域，回归和分类是两个核心的任务。回归主要用于预测连续值，而分类则用于将数据划分为不同的类别。下面将详细介绍相关的模型和方法。

相关向量回归（Relevance Vector Regression）

相关向量回归是一种依赖稀疏训练数据的模型。它通过对每个非零加权的训练示例施加惩罚，实现对训练数据的稀疏依赖。

模型构建

将对偶参数 $\psi$ 的正态先验替换为一维 t 分布的乘积，即：
$Pr(\psi) = \prod_{i=1}^{I} Stud_{\psi_i} [0,1,\nu]$
这个模型被称为相关向量回归。

边缘似然近似

边缘似然近似为：
$Pr(w|X,\sigma^2) \approx \max_{H} \left[ Norm_w[0,X^T XH^{-1}X^T X + \sigma^2I] \prod_{d=1}^{D} Gam_{h_d}[\nu/2,\nu/2] \right]$
其中，矩阵 $H$ 的对角线上包含与 t 分布相关的隐藏变量 ${h_i}_{i=1}^{I}$，其余位置为零。

优化过程

在相关向量回归中，交替进行以下两个步骤：
1. 相对于隐藏变量优化边缘似然：
$h_{i}^{new} = \frac{1 - h_i\Sigma_{ii} + \nu}{\mu_{i}^{2} + \nu}$
2. 相对于方差参数 $\sigma^2$ 优化边缘似然：
$(\sigma^2)^{new} = \frac{1}