骨折复位混合机构运动学设计

骨折复位手术用混合机构的运动学设计

1 引言

在过去的几十年中，为了实施骨折复位手术，已开发出许多不同的技术和设备，例如牵引床、单侧外固定器、环形外固定器或混合机构。如果关注机构概念，机器人辅助骨折复位手术的文献综述可分为多个类别。完全嵌入式结构表现为串联或并联结构，其基座和末端执行器均连接到患者的解剖结构上。对于外置机构，仅其末端执行器连接到患者的骨骼上。首个用于辅助骨折复位手术的机构由加夫里尔·阿布拉莫维奇·伊里扎洛夫医生提出。他开发了第一种带有交叉钢丝的环形外固定器，称为伊里扎洛夫，用于修复复杂的骨折和骨不连[1]。伊里扎洛夫外固定器由两个或更多环组成，这些环通过四根带可调螺母的螺纹杆相互连接。该固定器因其显著的临床效果而获得专利并被批准用于临床应用。

Ortho‐SUV有限公司开发了一种基于软件的Ortho‐SUV支架（OSF），用于通过单步解决方案治疗复杂畸形和骨折。它由一个基座环和一个移动环组成，两者之间通过六根配备刻度的伸缩式支撑杆连接[2, 3]。泰勒空间支架（TSF）是一种六足机构，目前广泛应用于复位手术中。该设备于1995年首次用于手术，并在1997[4]获得专利。

标准TSF由两个完整或部分环组成，通过每个末端的多轴关节用六个伸缩杆连接。通过调节六个杆件实现6自由度操作，因此该框架可用于同时矫正多方向畸形。与伊里扎洛夫fixator和单侧装置相比，TSFfixator在手术或畸形矫正过程中能够提供更精确的结果以及更简单的框架调整。并联机械结构相较于串联结构具有更高的刚度、更高的精度、更大的负载能力和更低的惯性。但其工作空间比串联结构小。基于这些原因，为骨折复位手术提出了一种混合机械结构。

下一节介绍新型混合平面‐三足机构。其运动学模型在第3节中进行研究。4节提出了该机构的工作空间分析。第5节为结论。

2 混合平面‐三足机构结构

本研究中，所提出的混合机构由两种不同的并联结构组合而成。它包含一个平面并联机构和一个空间三脚架机构，两者串联连接，如图1(a)所示。该平面并联机构是一种双三角结构，由Daniali等人，1993年在[5]中提出。它具有两个三角形平台：一个是fixed，作为结构基座，另一个是可移动平台。移动平台通过三个PRP支腿与fixed平台相连。每个支腿均包含一个主动棱柱关节，连接在fixed三角平台的边缘上，以及一个被动棱柱关节，连接在移动三角平台的边缘上。这两个棱柱关节通过一个被动旋转关节连接。该平面机构提供两个线性自由度和一个角自由度。安装在平面机构移动平台上的机构为三脚架结构。该3‐RPS并联机构由Hunt在1983[6]中提出。它同样具有两个平台，其中一个被视为基座，另一个为动平台，具有两个角自由度和一个线性自由度。

两个平台通过三个RPS支腿连接在一起。每个支腿通过一个被动旋转关节连接到固定平台，通过一个被动球面关节连接到移动平台。这两个被动关节由一个主动棱柱关节连接。三脚架的三个RPS支腿呈等腰三角形布置。选择这种结构布置是为了消除某一轴上的寄生运动。通过将这两个3自由度机构串联连接，构成一个具有总共六自由度（三个线性和三个角自由度）的混合并联‐并联操作机。与著名的斯图尔特平台相比，该机器人具有更简单的运动学、控制设计以及更大的工作空间。如图1(b)所示，原始参考坐标系{Oxyz}固定在平面机构的基座上，点O位于构成该基座的等边三角形A1A2A3的中心。其尺寸由外接圆半径ra确定。另一个参考坐标系{O1x1y1z1}固定在平面机构的移动平台上，即移动平台1（MP1），由等边三角形B1B2B3表示。该三角形假设与A1A2A3大小相同，尺寸也由ra确定。同时，参考坐标系{O1x1y1z1}也固定在三脚架机构的基座上。它由一个等腰三角形C1C2C3表示，其外接圆半径也由ra给出。三足式RPS支腿的被动旋转关节位于该三角形的角点处。类似地，第三个参考坐标系{O2x2y2z2}固定在三脚架的移动平台上，即移动平台2（MP2），它是整个平面‐三脚架机构的末端执行器。所有RPS支腿的被动球面关节位于Dk(k = 1, 2, 3)。点O2位于代表MP2的等腰三角形D1D2D3的中心。其尺寸由外接圆半径rb确定。平面机构和三脚架机构均由棱柱关节驱动。在平面机构中，输入变量q1, q2和q3定义为主动棱柱关节R1,R2和R3的位置与其对应角点A1, A2和A3之间的距离。在三脚架机构中，变量hk通过给出角度(O1CkDk)（k = 1, 2, 3）来测量RPS支腿的倾斜程度。由主动棱柱关节产生的输入变量q4, q5和q6分别测量距离C1D1,、C2D2和C3D3。该机构将被应用于骨折复位手术。每个骨碎片将分别连接到操作机基座及其末端执行器（MP2）。通过控制MP2的运动，操作者能够控制一块骨碎片相对于另一块的相对运动。

3 机构运动学分析

所提出机构的逆运动学模型可以通过几个步骤求解。第一步是分别分析两个机构的运动学：3‐PRP平面机构和3‐RPS三脚架。第二步，必须将三脚架的运动学表示在整个机构基座的参考坐标系中。另一步骤涉及补偿三脚架的寄生运动。

首先，介绍三角形平面并联机构的逆运动学。换句话说，研究MP1在原点参考坐标系{Oxyz}中的位置和姿态。双三角操作器具有3自由度：沿x轴和y轴的两个平移以及绕z轴的一个旋转。MP1的线性位置由向量o1=[x1 y1 0]在固定参考坐标系{Oxyz}中表示，其角位置由绕z轴的旋转角c1定义。假设MP1与基座在垂直轴方向上无距离。如图1(b)所示，主动棱柱关节R1,、R2,和R3的位置矢量r1,、r2和r3在固定参考坐标系{Oxyz}中表示如下：

$$
r1 = \begin{bmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} r_a - \frac{1}{2} q_1 \
-\frac{1}{2} r_a + \frac{\sqrt{3}}{2} q_1 \
0
\end{bmatrix},
r2 = \begin{bmatrix}
-\frac{1}{2} q_2 \
r_a - \frac{\sqrt{3}}{2} q_2 \
0
\end{bmatrix},
r3 = \begin{bmatrix}
-\frac{\sqrt{3}}{2} r_a + q_3 \
-\frac{1}{2} r_a \
0
\end{bmatrix}
$$

其中ra为过点A1,A2, 和A3的以中心O为圆心的外接圆半径。假设lk(k = 1, 2, 3)为动等边三角形B1B2B3的角点Bk到最近的被动棱柱关节R’k的距离，即分别为B1R‘1、B2R‘2和B3R‘3，则被动棱柱关节R’k在动坐标系{O1x1y1z1}中的位置矢量表示如下：

$$
^1r’_1 = \begin{bmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} r_a - l_1 \
\frac{1}{2} r_a \
0
\end{bmatrix},
^1r’_2 = \begin{bmatrix}
-\frac{\sqrt{3}}{2} r_a + \frac{1}{2} l_2 \
\frac{1}{2} r_a - \frac{\sqrt{3}}{2} l_2 \
0
\end{bmatrix},
^1r’_3 = \begin{bmatrix}
l_3 \
-r_a \
0
\end{bmatrix}
$$

在固定坐标系{Oxyz}中，被动棱柱关节R’k的位置按如下方式计算：

$$
r’_k = O_1 + R_z(c_1) \cdot ^1r’_k
$$

其中Rz(c1)是绕z轴旋转c1角度的旋转矩阵。由于基座上的主动棱柱关节Rk通过旋转关节与被动棱柱关节R’k相连，如图1(b)所示，因此两个棱柱关节Rk和R’k在固定坐标系中的x和y坐标与公式(4)中表达的相同。

$$
r_{kx} = r’ {kx} \
r {ky} = r’_{ky}
$$

在推导出公式(4)给出的表达式后，将棱柱输入坐标qk（其中k= 1, 2, 3）分离并表示如下：

$$
(\sin c_1 + \sqrt{3} \cos c_1) q_1 = r_a + \sqrt{3} r_a - 2x_1)\sin c_1 + (r_a + 2y_1)\cos c_1 \
(\sin c_1 + \sqrt{3} \cos c_1) q_2 = (r_a + \sqrt{3} r_a + x_1 - \sqrt{3} y_1)\sin c_1 + (r_a - \sqrt{3} x_1 - y_1)\cos c_1 \
(\sin c_1 + \sqrt{3} \cos c_1) q_3 = (r_a + \sqrt{3} r_a + x_1 + \sqrt{3} y_1)\sin c_1 + (r_a + \sqrt{3} x_1 - y_1)\cos c_1
$$

其中s(.)和c(.)分别等于sin(.)和cos(.)。接下来，MP2在固定于MP1的移动参考坐标系{O1x1y1z1}中的位置和姿态是提出了一种3‐RPS并联机构，该机构在MP2与MP1之间存在寄生运动[7]。为了定义这些寄生运动，假设向量$^1o_2 = [x_2 y_2 z_2]^T$指向末端执行器O2，并在参考坐标系{O1x1y1z1}中表示。其方向偏航‐俯仰‐滚转分别由绕z1,、y1,和x1轴旋转的角度$\gamma, \beta, \alpha$给出。球面铰链D1,、D2,、D3的位置矢量在MP2的坐标系{O2x2y2z2}中表示如下：

$$
^2d_1 = \begin{bmatrix}
r_b \
0 \
0
\end{bmatrix},
^2d_2 = \begin{bmatrix}
0 \
r_b \
0
\end{bmatrix},
^2d_3 = \begin{bmatrix}
-r_b \
0 \
0
\end{bmatrix}
$$

骨折复位手术用混合机构的运动学设计

3 机构运动学分析（续）

由图1(b)可知，球面副D1, D2,D3在坐标系{O1x1y1z1}中的位置矢量计算如下：

$$
^1d_k = ^1o_2 + ^1_2R \cdot ^2d_k
$$

其中$^1_2R$为MP2的旋转矩阵，k = 1，2，3。另一方面，旋转关节Ck(k = 1，2，3)的约束条件给出以下方程：

$$
^1d_{1y} = 0 \
^1d_{2x} = 0 \
^1d_{3y} = 0
$$

通过求解由公式(8)给出的方程组，可得到寄生运动：

$$
\gamma = 0 \
x_2 = -r_b \sin\alpha \sin\beta
$$

根据公式(9)，3‐RPS机构产生的寄生运动仅影响三脚架参考坐标系中末端执行器位置的x分量。换句话说，末端执行器O2在固定参考坐标系水平面内的线性位置将由移动平台1的线性运动和沿x轴的单向寄生运动共同组成。最终，所提出的并联机构的逆运动学模型将通过耦合两个并联机构的运动获得。三足机构相对于第一个移动平台的寄生运动将由三角机构的线性运动进行补偿。末端执行器O2在参考坐标系{Oxyz}中的笛卡尔坐标由$o_2=[x\ y\ z]^T$给出，其姿态由偏航角、俯仰角、滚转角$(\gamma,\beta,\alpha)$表示。球面铰链D1, D2, D3在参考坐标系{Oxyz}中的笛卡尔坐标为：

$$
d_k = o_2 + ^0_2R \cdot ^2d_k
$$

其中 $^0_2R$为与移动平台2旋转相关的旋转矩阵。展开公式(10)可得球面铰链 D1, D2, D3在移动平台1的参考坐标系{O1x1y1z1}中的位置矢量表达式为：

$$
^1d_1 = \begin{bmatrix}
r_a - q_4 \cos h_1 \
0 \
q_4 \sin h_1
\end{bmatrix},
^1d_2 = \begin{bmatrix}
0 \
r_a - q_5 \cos h_2 \
q_5 \sin h_2
\end{bmatrix},
^1d_3 = \begin{bmatrix}
q_6 \cos h_3 - r_a \
0 \
q_6 \sin h_3
\end{bmatrix}
$$

其中，q4、q5、q6分别为三脚架支腿C1D1,、C2D2,、C3D3的长度，h1、h2、h3为三脚架支腿的旋转角度。球面副D1,、D2,、D3在坐标系{Oxyz}中的位置矢量表示为：

$$
d_k = o_1 + R_z(\gamma) \cdot ^1d_k
$$

将式(10)代入式(12)，得到：

$$
x_1 + \cos\gamma(r_a - q_4 \cos h_1) = x + r_{11} \cdot r_b \
y_1 + \sin\gamma(r_a - q_4 \cos h_1) = y + r_{21} \cdot r_b \
x_1 - \sin\gamma(r_a - q_5 \cos h_2) = x + r_{12} \cdot r_b \
y_1 + \cos\gamma(r_a - q_5 \cos h_2) = y + r_{22} \cdot r_b \
x_1 + \cos\gamma(-r_a + q_6 \cos h_3) = x - r_{11} \cdot r_b \
y_1 + \sin\gamma(-r_a + q_6 \cos h_3) = y - r_{21} \cdot r_b
$$

式(13)给出的方程随后被重新整理为如下矩阵形式:

$$
o_1 = \begin{bmatrix}
x_1 \ y_1 \ z_1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
x + r_b \sin\alpha \sin\beta \cos\gamma \
y + r_b \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma \
0
\end{bmatrix}
$$

由于第二个移动平台的偏航旋转与第一个移动平台的偏航角相同。因此，通过将式(14)代入式(5)，可得到输入坐标qk (k= 1, 2, 3)，如下所示：

$$
(\sin\gamma + \sqrt{3} \cos\gamma) q_1 = r_a + r_a \cos\gamma + 2y \cos\gamma - 2x \sin\gamma + \sqrt{3} r_a \sin\gamma \
(\sin\gamma + \sqrt{3} \cos\gamma) q_2 = r_a + r_a \cos\gamma + \sqrt{3} r_a \sin\gamma - y \cos\gamma + x \sin\gamma - \sqrt{3} y \sin\gamma - \sqrt{3} x \cos\gamma - r_b \sin\alpha \sin\beta \
(\sin\gamma + \sqrt{3} \cos\gamma) q_3 = r_a + r_a \cos\gamma + \sqrt{3} r_a \sin\gamma - y \cos\gamma + x \sin\gamma + \sqrt{3} y \sin\gamma + \sqrt{3} x \cos\gamma + r_b \sin\alpha \sin\beta
$$

旋转关节Ck(k = 1, 2, 3)在坐标系{O1x1y1z1}中的位置矢量表示为：

$$
^1c_1 = \begin{bmatrix}
r_a \ 0 \ 0
\end{bmatrix},
^1c_2 = \begin{bmatrix}
0 \ r_a \ 0
\end{bmatrix},
^1c_3 = \begin{bmatrix}
-r_a \ 0 \ 0
\end{bmatrix}
$$

旋转关节Ck(k = 1, 2, 3)在坐标系{Oxyz}中的位置矢量表示为：

$$
c_k = o_1 + R_z(\gamma) \cdot ^1c_k
$$

三足式RPS的主动棱柱副$q_{k+3}$ (k = 1, 2, 3)的长度可由此确定：

$$
q_{k+3} = |C_kD_k| = |d_k - c_k| = |o_2 + ^0_2R \cdot ^2d_k - o_1 - R_z(\gamma) \cdot ^1c_k|
$$

具体表达式为：

$$
q_4 = \sqrt{(z - r_b \sin\beta)^2 + (r_a - r_b \cos\beta + r_b \sin\alpha \sin\beta)^2} \
q_5 = \sqrt{(z + r_b \cos\beta \sin\alpha)^2 + (r_a - r_b \cos\alpha)^2} \
q_6 = \sqrt{(z + r_b \sin\beta)^2 + (r_a - r_b \cos\beta - r_b \sin\alpha \sin\beta)^2}
$$

4 机构工作空间分析

本节介绍了所提出机构的工作空间。计算机构工作空间或边界的常用方法包括解析、几何或数值方法。本研究采用数值方法来确定混合平面‐三足机构操作手的工作空间边界。如前所述，该混合机构由一个平面机构和一个三足机构组成，因此整个机构的工作空间分析可以分为两个独立的部分。因此，该机构的工作空间在两个不同的坐标系中表示：(x, y, γ) 和 (α, β, z)，分别对应于平面机构和三足机构。平移运动(x, y, z)范围和姿态角(α, β, γ)被离散化为具有期望分辨率的采样点。对于每个采样点，利用公式(15)和(19)给出的逆运动学模型计算相应的机构输入变量(q1,…, q6)。然后检查qi值，确保其处于由[qimin; qimax]给定的行程范围之内。为了研究所提出的混合平面‐三足机构在骨折复位手术中的适用性，将其工作空间与斯图尔特平台进行比较，后者是医疗应用中最常用的结构形式。为了保证公平比较，斯图尔特平台和混合机构设置为具有相同的总体尺寸，如图2所示。它们的输入变量运动范围也被类似地调整。两者的上环和下环均设为380毫米直径，其输入棱柱副的运动范围设为175到250毫米。对于每种机构，其在(x, y, γ)和(α, β, z)坐标系中的工作空间分别在图3(a)和(b)中显示。

结果显示，史都华平台的最大(xy)平面运动范围为γ = 0，而混合机构约为γ = 23°。在此构型下，混合机构的运动范围在x轴方向大17%，y轴方向大13%；y轴方向上，而史都华平台的垂直运动范围大3%。尽管史都华平台在角度β上的角运动大21%，但混合机构在角度α上的角运动大16%，在角度γ上的角运动大162%。

5 结论

在本研究中，提出了一种用于骨折复位手术的新型混合结构的运动学设计。该结构基于一个与3‐RPS三足机构相连的3‐PRP平面机构。提供了整个机构的运动学模型，同时考虑了由三脚架机构末端执行器旋转引起的寄生运动。由于其特定的结构布置，这种寄生运动仅在三脚架基座的一个轴上产生。此外，平面机构运动学模型考虑了该寄生运动，并能够完全补偿此运动误差。与在此应用中最常用的经典泰勒机构相比，所提出的混合平面‐三足机构具有更大的工作空间，使所提出的机构成为骨折复位手术的良好候选方案。

所提出的混合机器人。(b) 斯图尔特平台)

坐标系（a）以及(α, β, z)坐标系（b）中的工作空间表示)