50、在线单位聚类的更优界限-优快云博客

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在线单位聚类的更优界限

1. 算法概述

在线单位聚类旨在将陆续到达的点划分到长度不超过 1 的区间（即聚类）中。为实现这一目标，我们设计了一种围绕 2 - 4 个聚类组成的组展开的算法。以下是一些关键定义：
- 聚类：在一维直线上，聚类被定义为长度最大为 1 的区间。对于聚类 C，用 rC 表示其右端点，lC 表示其左端点，d(p1, p2) 表示两点 p1 和 p2 之间的距离。
- 覆盖：若 max(d(p, rC), d(p, lC)) ≤ 1，则称聚类 C 可以覆盖点 p。
- 可达：若聚类 C 能覆盖 C 和 D 之间直线上的所有点，则称 C 能到达另一个聚类 D。
- 未充分利用 ：若存在聚类 C 在 D 左侧，聚类 E 在 D 右侧，且 d(rC, lE) ≤ 1，则称 D 未充分利用。
- 紧密对 ：若 d(lC, lD) ≤ 1 且 d(rC, rD) ≤ 1，则称两个聚类 C 和 D 为紧密对。
- 远距离对 ：若 d(lC, lD) > 1，d(rC, rD) > 1，且 d(rC, lD) ≤ 1，则称两个聚类 C 和 D 为远距离对。

1.1 组的定义

潜在常规组 ：三个连续且不属于其他组的聚类 C、D 和 E，若满足以下条件，则形成潜在常规组：
1. d(rC, lD) ≤ 1 且 d(rD, lE) ≤ 1。
2. d(rC, lE) > 1。
3. d(lC, lD) > 1 或 d(rD, rE) > 1。
4. d(rC, rD) ≤ 1 或 d(lD, lE) ≤ 1。
常规组 ：初始由三个聚类组成，随着算法推进可能需要第四个聚类，但不会需要第五个聚类。常规组分为好的常规组和坏的常规组，坏的常规组需满足 (d(rC, rD) > 1 且 d(rD, rE) ≤ 1) 或 (d(lD, lE) > 1 且 d(lC, lD) ≤ 1)，不满足此条件的为好的常规组。
紧密组 ：初始由两个聚类组成，随着算法推进可能需要第三个聚类。紧密组实际上就是带有不同标签的远距离对。
接近的常规组 ：若常规组 G1 的中间聚类能到达另一个组 G2 中的聚类，则称 G1 接近 G2。

1.2 算法流程

根据新点 p 的位置，分别由不同的算法处理：
- 若 p 落在已打开的聚类内，则该聚类覆盖 p。
- 若 p 落在常规组内，由算法 2 处理。
- 若 p 落在紧密组内，由算法 3 处理。
- 若 p 落在所有组之外，由算法 1 处理。

以下是各算法的具体步骤：

算法 1：主算法

Require: p 落在所有组之外
1. if p 可以被某个组内聚类覆盖 then
2.     用该聚类覆盖 p，尽可能避免创建接近的常规组
3. else if 用某个聚类覆盖 p 能创建一个新的好的潜在常规组 then
4.     用该聚类覆盖 p 并创建一个新的常规组
5. else if 为 p 打开一个新聚类能创建一个新的好的潜在常规组 then
6.     if 新的好的潜在常规组会接近另一个组 then
7.         覆盖 p 并创建一个紧密组
8.     else
9.         为 p 打开一个新聚类并创建新的常规组
10. else if p 可以被某个聚类覆盖 then
11.     用一个聚类覆盖 p，尽可能避免创建紧密对
12. else
13.     为 p 打开一个新聚类

算法 2：常规组算法

Require: p 落在常规组内
1. if 某个最外层聚类能在不使中间聚类未充分利用的情况下覆盖 p then
2.     用该最外层聚类覆盖 p
3. else if p 可以被某个中间聚类覆盖且仍能到达最外层聚类 then
4.     用该中间聚类覆盖 p
5. else
6.     为 p 打开一个新的中间聚类

算法 3：紧密组算法

Require: p 落在紧密组内
1. if p 可以被最外层聚类覆盖 then
2.     用该最外层聚类覆盖 p
3. else if 存在中间聚类 then
4.     用中间聚类覆盖 p
5. else
6.     为 p 打开一个新的中间聚类

1.3 算法分析

为证明算法的正确性和竞争性，我们建立了一些引理：
- 引理 1 ：若两个聚类包含在一个单位区间内，则它们属于同一个常规组。
- 引理 2 ：算法 1 是良定义的。
- 引理 3 ：常规组中的中间聚类无法到达非组内聚类。

1.4 整体证明结构

整体证明的基本思路是将算法产生的聚类划分为块，并证明从左到右处理这些块时，算法在每个块之后都是 5/3 竞争的。为跟踪处理状态，我们引入符号 $\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix}$，表示在可能丢弃一些在线算法使用的聚类数与最优算法（OPT）使用的聚类数之比至少为 5/3 的块后，当前在线算法使用了 a 个聚类，OPT 使用了 b 个聚类。

我们定义了对的排序关系：
$\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} \succeq \begin{pmatrix}c\d\end{pmatrix} \Leftrightarrow \forall x, y : \frac{x + c}{y + d} \leq \frac{5}{3} \Rightarrow \frac{x + a}{y + b} \leq \frac{5}{3}$，等价于 $5(b - d) \geq 3(a - c)$。

基于此，我们还定义了 $\preceq$、$\sim$、$\prec$ 和 $\succ$ 关系，以及对的加法：$\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix}c\d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a + c\b + d\end{pmatrix}$。

例如，$\begin{pmatrix}a + 5\b + 3\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix}$ 且 $\begin{pmatrix}1\1\end{pmatrix} \succ \begin{pmatrix}3\2\end{pmatrix}$ 表明在 $\begin{pmatrix}1\1\end{pmatrix}$ 场景下，我们在达到 5/3 界限方面的情况比在 $\begin{pmatrix}3\2\end{pmatrix}$ 场景下更好。

我们将 OPT 聚类的状态分为三种：
- N 状态 ：OPT 聚类无法覆盖在线算法下一个打开的聚类中的点。
- A 状态 ：OPT 聚类覆盖了在线算法最后打开的聚类的所有点。
- S 状态 ：OPT 聚类覆盖了在线算法最后打开的聚类的部分（而非全部）点。

我们证明了：若处于 N 状态，则 $\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} \succeq \begin{pmatrix}0\0\end{pmatrix}$；若处于 A 状态，则 $\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} \succeq \begin{pmatrix}3\2\end{pmatrix}$；若处于 S 状态，则 $\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix} \succeq \begin{pmatrix}2\2\end{pmatrix}$，且 $S \succ A \succ N$。

若能证明上述关系在算法每次决策后都是不变的，则证明了算法是 5/3 竞争的。

聚类划分方式如下：我们只考虑连续点集，其中任意两个连续点之间的距离至多为 1。在每个这样的集合中，每个组是一个块，两个连续组之间或集合末尾的部分也是一个块。对于每个块和起始状态，我们以最坏情况分析该块，确定结束状态以及在线算法和 OPT 使用的新聚类数。

1.5 组的分析

组的分析可以通过一系列图形来完成。以图 9 为例，虚线以上展示要分析的图形。我们虽不知道 OPT 聚类的位置，但可根据上述状态分类假设起始状态的划分，对每个可能的 OPT 起始状态分别进行分析。在 OPT 行的最右侧，列出该行使用的新在线和 OPT 聚类数对。在所有情况下，我们都要验证起始状态加上使用的聚类数对之和至少等于结束状态。

我们在常规 3 - 组和紧密 2 - 组创建时、常规 4 - 组打开第四个聚类时、紧密 3 - 组打开第三个聚类时分别进行分析，并且单独分析常规组接近另一个组的情况。因此，在分析常规组和紧密组时，可假设它们不接近其他组。

以下是分析过程的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[新点 p 到达] --> B{p 是否在已打开聚类内};
    B -- 是 --> C[该聚类覆盖 p];
    B -- 否 --> D{p 是否在常规组内};
    D -- 是 --> E[算法 2 处理 p];
    D -- 否 --> F{p 是否在紧密组内};
    F -- 是 --> G[算法 3 处理 p];
    F -- 否 --> H[算法 1 处理 p];

综上所述，我们有以下重要结论：
- 存在一种 5/3 竞争的确定性算法用于一维在线单位聚类。
- 在二维及更高维度中，没有确定性在线算法的竞争比能小于 13/6。

2. 二维下界证明

2.1 定理内容

不存在竞争比小于 13/6 的二维确定性在线算法。

2.2 证明过程

考虑任何不会产生一个聚类包含在另一个聚类中的聚类结果的确定性在线算法 A，假设其竞争比小于 13/6，通过反证法进行证明。
1. 初始四个点 ：四个点落在单位正方形的四个角上，算法 A 有两种选择：
- 全部放入一个聚类 ：若 A 将所有点分配到一个聚类中，接着会有四个额外的点到达。由于可以用两个聚类对所有现有点进行分组，所以 A 必须将至少一对新点分组到一个聚类中，否则无法保持竞争比小于 13/6。
- 四个新点分为两个聚类 ：若 A 将四个新点（点 5 - 8）恰好分为两个聚类，随后会有八个额外的点到达。因为可以用四个聚类服务所有这些点，所以 A 最多只能用五个聚类对新点进行分组。
- 八个新点用四个聚类分组 ：若 A 用四个聚类对八个新点进行分组，再接着会有六个额外的点到达。此时 A 必须为它们打开六个聚类，这样 A 使用了 13 个聚类，而最优解只需要六个聚类，产生矛盾。
- 八个新点用五个聚类分组 ：若 A 用五个聚类对八个新点进行分组，然后会有三个额外的点到达。A 必须为它们打开三个聚类，此时 A 使用了 11 个聚类，而最优解只需要五个聚类，产生矛盾。
- 四个新点分为三个聚类 ：若 A 将四个新点（点 5 - 8）分为三个聚类，后续点的到达情况如下：
- 先给出一个额外的点（点 9），由于九个点可以用两个聚类分组，所以 A 必须将新点分配到一个已打开的聚类中。
- 接着四个点（点 10 - 13）到达，由于 13 个点可以用三个聚类分组，所以 A 必须将新点分为两个聚类。
- 然后六个点（点 14 - 19）到达，由于 18 个点可以用五个聚类分组，所以 A 必须用四个聚类对新点进行分组。
- 最后三个点（点 20 - 22）到达，A 必须为它们打开三个新聚类，此时 A 使用了 13 个聚类，而最优解只需要六个聚类，产生矛盾。
- 分为两个聚类 ：若 A 将最初的四个点分为两个聚类，后续点的到达情况如下：
- 先给出一个额外的点（点 5），由于五个点可以用一个聚类分组，所以 A 必须将新点分配到一个已打开的聚类中。
- 接着四个点（点 6 - 9）到达，由于九个点可以用两个聚类分组，所以 A 必须用两个聚类对新点进行分组。

2.3 证明总结

通过上述各种情况的分析，在每种可能的点到达序列下，假设算法 A 的竞争比小于 13/6 都会导致矛盾，从而证明了不存在竞争比小于 13/6 的二维确定性在线算法。

以下是二维下界证明过程的表格总结：
| 初始点分组情况 | 后续点到达情况 | 在线算法分组方式 | 在线算法使用聚类数 | 最优解使用聚类数 | 是否矛盾 |
| — | — | — | — | — | — |
| 全部放入一个聚类 | 四个新点 | 至少一对新点分组到一个聚类 | - | - | 若不满足则矛盾 |
| | 四个新点分为两个聚类 | 八个新点 | 最多用五个聚类分组 | - | - |
| | | 八个新点用四个聚类分组 | 六个新点 | 打开六个聚类 | 13 | 6 | 是 |
| | | 八个新点用五个聚类分组 | 三个新点 | 打开三个聚类 | 11 | 5 | 是 |
| 四个新点分为三个聚类 | 一个新点 | 分配到已打开聚类 | - | - | - |
| | 四个新点 | 分为两个聚类 | - | - | - |
| | 六个新点 | 用四个聚类分组 | - | - | - |
| | 三个新点 | 打开三个新聚类 | 13 | 6 | 是 |
| 最初四个点分为两个聚类 | 一个新点 | 分配到已打开聚类 | - | - | - |
| | 四个新点 | 用两个聚类分组 | - | - | - |

通过以上对算法和二维下界的分析，我们对在线单位聚类问题有了更深入的理解。该算法在一维情况下具有较好的竞争性能，而二维及更高维度存在竞争比的下界限制。这些结果为在线单位聚类问题的研究提供了重要的理论基础。

2.4 二维下界证明的意义

二维下界的证明为在线单位聚类问题在二维及更高维度的研究提供了重要的理论依据。它明确了在二维空间中，任何确定性在线算法的竞争比都无法小于 13/6，这为算法的设计和优化设定了一个理论界限。对于研究者来说，可以避免在寻找竞争比小于 13/6 的二维确定性在线算法上浪费精力，而是将注意力集中在接近这个下界的算法设计上。

2.5 与一维算法的对比

与一维情况下存在 5/3 竞争的确定性算法相比，二维空间的下界明显更高。这表明随着维度的增加，在线单位聚类问题的难度显著增大。在一维空间中，算法可以利用点在直线上的顺序和距离关系，更有效地进行聚类划分。而在二维空间中，点的分布更加复杂，算法需要考虑更多的因素，如点之间的相对位置、距离等，这使得找到最优的聚类方案变得更加困难。

2.6 未来研究方向

虽然我们已经确定了二维及更高维度的下界，但仍然有许多研究方向值得探索。例如：
- 随机化算法 ：确定性在线算法存在竞争比的下界限制，而随机化算法可能能够突破这个限制。研究随机化在线算法在二维及更高维度的单位聚类问题中的性能，可能会得到更好的竞争比。
- 近似算法 ：设计能够在较短时间内得到接近最优解的近似算法。这些算法虽然不能保证达到最优解，但可以在实际应用中快速得到可行的聚类方案。
- 动态环境下的算法 ：考虑在动态环境中，点的到达和离开是动态变化的情况。设计能够适应这种动态变化的在线单位聚类算法，具有重要的实际应用价值。

以下是未来研究方向的 mermaid 流程图：

graph LR;
    A[二维及更高维度下界确定] --> B[随机化算法研究];
    A --> C[近似算法设计];
    A --> D[动态环境算法设计];

3. 总结与展望

3.1 研究成果总结

我们提出了一种用于一维在线单位聚类的 5/3 竞争的确定性算法。该算法通过将聚类划分为不同的组，并根据新点的位置采用不同的处理策略，有效地实现了聚类划分。
证明了在二维及更高维度中，不存在竞争比小于 13/6 的确定性在线算法，为该问题在高维空间的研究提供了理论基础。

3.2 实际应用价值

在线单位聚类问题在许多领域都有广泛的应用，如数据挖掘、模式识别、传感器网络等。在数据挖掘中，聚类分析可以帮助发现数据中的潜在模式和结构；在传感器网络中，聚类可以有效地管理传感器节点，减少通信开销。我们的研究成果为这些实际应用提供了理论支持和算法指导。

3.3 研究不足与改进方向

尽管我们的研究取得了一定的成果，但仍然存在一些不足之处。例如，算法的实现复杂度较高，在处理大规模数据时可能会面临性能问题。未来可以考虑对算法进行优化，降低算法的时间和空间复杂度。此外，我们的研究主要集中在确定性算法和二维及更高维度的下界，对于随机化算法和动态环境下的算法研究还不够深入，需要进一步加强这方面的研究。

综上所述，在线单位聚类问题是一个具有重要理论和实际意义的研究课题。我们的研究在一维和二维空间中取得了一定的进展，但仍有许多问题需要进一步研究和解决。未来的研究可以围绕随机化算法、近似算法和动态环境算法等方向展开，以推动该领域的发展。