44、更快的参数化子式包含算法及相关问题的固定参数算法

更快的参数化子式包含算法及相关问题的固定参数算法

在图论算法领域，子式包含问题以及一些相关的图划分和几何覆盖问题一直是研究的热点。下面我们将详细介绍解决这些问题的算法及其原理。

子式包含问题的算法

设 (G) 和 (H) 为图，(e) 是 (G) 的有根分支分解中的一条边。这里有一个重要的引理：
- 引理 1 ：
1. 若 (mode(A, S, R, \psi, \chi) = true)，则 (G_e) 包含 (H[S]) 的一个 ((R, { {u, v} | u, v \in R, \chi(u, v) = 1})) - 潜在模型。
2. 若 (G_e) 包含 (H[S]) 的一个 (R) - 潜在模型，则存在 (A)、(\psi) 和 (\chi) 使得 (mode(A, S, R, \psi, \chi) = true)。
3. (G) 包含与 (H) 同构的子式当且仅当某个中间集 (mid(e)) 满足 (mode(\varnothing, V(H), \varnothing, \varnothing, \varnothing) = true)。

算法描述

我们可以使用动态规划在 (G) 的分支分解上显式计算 (mode(A, S, R, \psi, \chi)) 的值。
- 内部边的计算 ：设 (e)、(e_1)、(e_2) 是 (T) 的三条边，它们与同一个顶点关联，且 (e) 比另外两条边更靠近 (T) 的根。则 (mode(A, S, R, \psi, \chi)) 的值如下：
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