40、自由标签最大化的近似算法

自由标签最大化的近似算法

在许多实际场景中，如欧洲航空交通管制，需要对飞机进行实时标记，且标记的大小是固定的。这就引出了自由标签最大化问题，即在允许标签相交的情况下，找到一种标记方式，使得不相交的标签（自由标签）数量最多。

问题背景

以往的研究主要集中在标签放置问题的大小最大化和数量最大化版本上，通过缩小标签或移除部分标签来避免标签相交。然而，欧洲航空交通安全法规要求所有飞机始终用固定大小的标签进行标记，因此我们必须允许标签相交，并希望相交的标签数量尽可能少。

确定一个静态点集是否存在无相交标签的标记问题是强NP完全的，这意味着除非P = NP，否则不存在多项式时间的近似算法来找到相交标签数量最少的标记。因此，我们转而寻求自由标签数量最多的标记。

研究成果

我们针对静态点的自由标签最大化问题进行了研究，为单位正方形标签开发了简单的O(n log n)时间、O(n)空间的常数因子近似算法以及多项式时间近似方案（PTAS）。实际上，如果所有标签都是固定矩形的平移，我们的算法同样适用，因为可以通过适当的缩放将其转换为单位正方形标签的情况。

自由标签最大化问题的复杂度介于大小最大化和数量最大化问题之间。大小最大化问题即使对于单位正方形标签也是APX难的，而用于单位正方形标签数量最大化的技术可以轻松扩展到不同宽度的单位高度标签，但自由标签最大化问题似乎并非如此。

常数因子近似算法

我们使用GreedySweep算法，其工作流程如下：
1. 从左到右遍历点，逐个进行标记。
2. 对于正在处理的点，若一个标签候选与之前放置的标签均不相交，且每个待标记的点至少有一个标签