24、如何通过对区间值和集值函数求导来重构系统动力学

如何通过对区间值和集值函数求导来重构系统动力学

1. 问题的提出

科学和工程的一个主要目标是预测不同系统的未来状态。例如，预测未来的天气、天体的未来轨迹等。为了进行这些预测，我们需要知道系统的当前状态以及状态随时间的演化方式。

对于物理对象（系统），其状态可以用不同物理特征的值 (x = (x_1, \ldots, x_n)) 来表征。宏观物体的演化通常可以用一个（确定性的）常微分方程 (\dot{x} = f(x)) 来描述，其中 (\dot{x} \stackrel{\text{def}}{=} \frac{dx}{dt}) 是时间导数。

1.1 经验求导的必要性

在许多情况下，描述系统动力学的映射 (f(x)) 是已知的。例如，对于一个点对象，用其位置 (r) 和速度 (v) 来表征：(x = (r, v))，牛顿方程 (m\ddot{r} = F(r)) 描述了该对象在力场 (F(r)) 中的动力学，可表示为 (\dot{x} = f(x)) 的形式：(\dot{x} = v)，(\dot{v} = F(r))，即 (f(r, v) = (v, F(r)))。

然而，通常我们并不知道确切的动力学 (f(x))。在这种情况下，我们需要根据系统的观测轨迹，即不同时刻 (t_1 < t_2 < \ldots < t_m) 测量得到的值 (x(t_i)) 来重构 (f(x)) 的值。当观测时间接近时，我们可以近似地将相应的时间导数描述为 (\dot{x}(t_i) \approx \frac{x(t_i) - x(t_{i - 1})}{t_i - t_{i - 1}})，然后根据 (\dot{x}(t_i) = f(