LeetCode Q300 最长上升子序列

思路

最长上升、最长不下降、最长下降子序列等等类似的题目求子序列长度的题基本都是使用dp来解。还要注意题目中是否指定了是连续子序列还是没有限制，若是连续的子序列就要注意dp代表的含义。还有的题目会使用删除某些数字来获得子序列来反向出题，都一样。
本题是非连续的子序列，则dp[i]表示为从[0,i]的最长上升子序列长度。因为是非连续的子序列，所以dp[i]的大小不一定取决于dp[i-1]，因为若nums[i]<=nums[i-1]则dp[i]所代表的子序列肯定不包含nums[i-1]。而dp[i]代表的序列肯定是以nums[i]结尾的序列，因此针对dp[i]的求解需要从0到i都比较一次，若num[j]<nums[i]，则说明nums[i]可以接到nums[j]后面，组成一个上升子序列,这样dp[i]取这些能够组成的上升子序列中的最大值即可。这样，最后返回dp数组中的最大值即可。
$$dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)if(nums[j]<nums[i])j>0andj<i$$

还有一种思路。初始化一个cell数组用来存放上升子序列。每次循环，判断cell中最后一个元素cell[j]和nums[i]的大小，若cell[j]<nums[i]，则直接将nums[i]驾到后面。否则将nums[i]覆盖cell中比nums[i]大的最小的那个树，保持cell此时的长度不变。最后输出cell的长度。
这种方法其实和dp类似，但是效率更高。主要是cell每次存储的都是较小的上升序列，若出现了比cell所有的值都大的值，则可以扩展cell，代表最长上升子序列的长度也加一。若nums[i]并不是最大的，那么就用它取代比他大一点的那个值，这样做可以保持cell始终存储着较小的值，这样使得cell上升的比较慢，cell长度也能尽可能的长，最后拿到最长的cell长度。

代码

package algorithm;

import java.util.Arrays;

public class Q300 {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) return 0;
        int dp[] = new int[nums.length];
        Arrays.fill(dp, 1);
        int re = 1;
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {

            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) {
                    dp[i] = dp[i] < (dp[j] + 1) ? (dp[j] + 1) : (dp[i]);
                }

            }
            re = re > dp[i] ? re : dp[i];
        }
        return re;
    }

    public int lengthOFLIS(int[] nums) {
        if (nums.length <= 1) return nums.length;
        int cell[] = new int[nums.length];
        cell[0] = nums[0];
        int j = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (cell[j] < nums[i])
                cell[++j] = nums[i];
            else {
                int l = 0, r = j;
                while (l < r) {
                    int mid = (l + r) >> 1;
                    if (cell[mid] < nums[i]) {
                        l = mid + 1;
                    } else r = mid;
                }
                cell[l] = nums[i];
            }
        }
        return cell.length;
    }
}