28、最小偏心最短路径问题：近似算法与 k - 层状性问题的关系

最小偏心最短路径问题：近似算法与 k - 层状性问题的关系

1. 引言

在图分类和实际应用中，确定一个图能在多大程度上用一条路径来概括是一个重要问题。可以使用不同的路径构造和度量方法来刻画图与构造路径的接近程度，例如路径分解和路径宽度、路径距离分解和路径距离宽度等。本文关注的是通过图的一条路径定义的脊柱来刻画图。

最初，这个问题是从支配的角度进行研究的，即寻找一条路径，使得图中的每个顶点都属于该路径或与路径上的某个顶点相邻。许多图类是根据支配路径来定义的。例如，有些研究关注支配路径是直径的图，还有研究引入了支配对的概念。此外，对于所有诱导子图中都存在短支配路径的图也有相关的特征刻画。同时，还为无 AT 图开发了寻找支配路径或支配顶点对的线性时间算法。

然而，并非每个图都存在支配路径，并且支配路径没有相关的度量来衡量图与路径的距离。因此，自然地将支配的概念扩展到 k - 覆盖，即对于给定的整数 k，如果图中的每个顶点到路径的距离至多为 k，则称该路径 k - 覆盖图。使得路径 k - 覆盖图的最小 k 值就是所需的度量。

本文研究的是覆盖路径必须是其端点之间最短路径的问题，即最小偏心最短路径（MESP）问题。该问题由 Dragan 和 Leitert 引入，他们描述了一种线性时间算法，该算法是该问题的 8 - 近似算法。本文将深入研究该算法中使用的双广度优先搜索（double - BFS）过程，并将其扩展以获得线性时间的 3 - 近似算法。此外，还将研究 MESP 问题与层状性概念之间的联系，并展示 MESP 和层状性参数之间的紧密界限。

以下是一些定义和符号说明：
- (G = (V, E)) 表示一个有限的连通无向图。