27、图的编码序列及拟阵表示相关知识介绍

图的编码序列及拟阵表示相关知识介绍

1. 图的基本性质与编码序列

在图论中，图 (G) 的编码序列 (\beta(G, n)) 有着重要的性质。若 (\beta(G, n)) 是 (Z_2) 上 (Z_2^{n - 1}) 的一组基，那么 (\beta(G, n)) 在 (Z_2) 上线性无关。根据相关推论可知，此时图 (G) 是无环的，并且由于基的元素个数为 (n - 1)，这意味着图 (G) 有 (n - 1) 条边，所以图 (G) 是一棵树。

对于有 (n) 个顶点的图 (G)，有以下重要推论：
- 推论 5 ：图 (G) 连通的充要条件是对于图 (G) 的任意编码序列 (\beta(G, n))，都有 (Sp(\beta(G, n)) = Z_2^{n - 1})。
- 证明思路：首先明确图 (G) 连通等价于它有生成树。假设图 (G=(V, E)) 有生成树 (H=(V, E_1))，在相同顶点标记下，(\beta(H, n) \subseteq \beta(G, n))。由定理 1 可知，(\beta(H, n)) 是 (Z_2) 上 (Z_2^{n - 1}) 的一组基，所以 (Sp(\beta(G, n)) \supseteq Sp(\beta(H, n)) = Z_2^{n - 1})，即 (Sp(\beta(G, n)) = Z_2^{n - 1})。反之，若 (Sp(\beta(G, n)) = Z_2^{n - 1})，则 (\beta(G, n)) 包含 (Z_2) 上 (Z_2^{n - 1}) 的一组基 (B)，根据定理 1，(G(B)) 是图 (G) 的生成树，所以图 (G) 连通。
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