26、图论中的编码序列与相关问题研究

图论中的编码序列与相关问题研究

1. 引言

在图论研究中，对图的表示和相关问题的求解一直是重要的研究方向。本文将介绍图的编码序列表示方法，以及在图的特定问题求解方面的一些成果，包括PEpD问题的求解、图的分区以及图的APX - 硬度证明等内容。

2. PEpD问题求解

在具有有界树宽的图上，如果任何边的需求被一个常数上界所限制，PEpD问题可以在多项式时间内求解。具体来说，对于图 $G$ 的树分解 $T$，其节点数最多为 $O(nt)$。对于任意节点 $i \in I$，$|Xi| \leq t$，$E′_i$ 最多可以取 $2t^2$ 个值，$f_i$ 最多可以取 $2t$ 个值，对于任意顶点 $v \in X_i$，$d_i(v)$ 最多可以取 $n$ 个值。所以动态规划（DP）中的总单元格数最多为 $O(nt) \cdot 2t^2 \cdot 2t \cdot nt = O(nt)$，每个DP单元格的计算时间为 $O(n^{2t})$，因此DP的运行时间有界于 $O(n^{3t})$。

• 定理4 ：在具有有界树宽的图上，如果任何边的需求被一个常数上界所限制，PEpD问题可以在多项式时间内求解。

3. 图的分区

对于H - 子式无关图，我们可以利用Demaine等人的结果进行分区。

• 引理9 ：对于一个固定的图 $H$，存在一个常数 $c_H$，使得对于任何整数 $k \geq 1$ 和每个H - 子式无关图 $G$，$G$ 的顶点（或 $G$ 的边）可以被划分为 $