25、加权PDBEP问题的常数因子近似算法解读

加权PDBEP问题的常数因子近似算法解读

1. 相关工作

• PDBEP问题简介 ：PDBEP问题由Zhang提出，它是资源分配和寻找大独立集问题的衍生，是我们所讨论问题的单位需求和单位权重版本，即PEpD问题加上所有边 $e \in E$ 满足 $w(e) = d_e = 1$ 的额外约束。Zhang证明了单位容量版本的PDBEP（即边权重为单位1的PEp问题）是NP难的，因为对于图 $G = (V, E)$，PEp问题规模为 $k$ 的解意味着存在规模为 $|V| - k$ 的支配集，而支配集问题是NP难的。
• 已有近似算法
  • Zhang为边权重为单位1的PEp问题提出了2 - 近似算法，以及边权重为单位1且所有顶点容量为2时的32/11 - 近似算法。
  • Dehne等人研究了PDBEP问题的参数化版本（顶点容量为1且边需求为1），得到的算法复杂度与PEp解的规模呈指数关系。
  • 对于顶点不相交的T - 星打包问题，有作者给出了 $\frac{9}{4}\frac{T}{T + 1}$ - 近似算法，当 $T \geq |V| - 1$ 时，该问题等同于PEp问题。
  • Aurora等人针对任意顶点容量、边需求和权重为单位1的PEp问题提出了简单的2 - 近似算法，对于边带权重但边需求为单位1的情况，仅提出了 $O(\log n)$ - 近似算法。
  • PEp问题与最大权重匹配问题类似，后者有多种多项式时间算法；PEpD问题与Shepherd和Vetta提出的需求匹配问题类似，该问题