24、核心 - 边缘问题与加权部分度有界边打包问题研究

核心 - 边缘问题与加权部分度有界边打包问题研究

核心 - 边缘问题

线性密度情况

在图论中，核心 - 边缘问题的线性密度情况涉及到判断图中是否存在 k - 团。设图 (G=(V, E)) 是一个 d - 正则图，对于一个 k - 团 (X)，有 (f(X) = 0)。由于图的正则性，总边数为 (\frac{nd}{2})，与 (X) 中节点关联的边数为 (kd - \binom{k}{2})。由此可得：
[h(X) = g(X) = \frac{2(\frac{nd}{2}-(dk - \binom{k}{2}))}{n + q - k}=\frac{nd - 2dk + k(k - 1)}{n + q - k}=:g(k)]
为证明反方向，需证明 (g(k)) 在 (1\leq k\leq d) 范围内是递减的。对 (g(k)) 求一阶导数：
[g’(k) = \frac{(2k - 2d - 1)q + 2kn - dn - n - k^2}{(n + q - k)^2}\leq\frac{-q - dn + n + 1}{(n + q - k)^2}\leq\frac{-(d^2 - d + 1)n + 1}{(n + q - k)^2}< 0]
所以，对于所有 (d\geq2)，(g(k)\leq g(1)=\frac{dn - 2d}{n + q - 1}\leq\frac{dn - 2d}{n + d^2n - 1}\leq\frac{1}{d}<\frac{2}{d + 1})。因此，图 (G) 包含一个 k - 团当且仅当存在 (X\subset V’) 使得 (h(X)\leq\frac{nd - 2dk + k(k - 1