15、带边着色图中不相交路径的求解

带边着色图中不相交路径的求解

在图论和算法领域，寻找带边着色图中的不相交路径是一个重要的问题。本文将深入探讨两个相关问题：最大着色不相交路径（MaxCDP）和最大着色双重不相交路径（MaxCDDP），并分析它们的复杂度和求解算法。

1. 基本定义

• 图的表示 ：考虑无向图 (G=(V, E))，对于顶点 (v\in V)，用 (N(v)) 表示与 (v) 相邻的顶点。设颜色集合 (C = {c_1, \ldots, c_q})，一个 (C) - 边着色图定义为 (G=(V, E, f_C))，其中 (f_C: E \to 2^C) 是对每条边用 (C) 中的颜色集合进行着色。用 (n) 表示顶点集 (V) 的大小，(m) 表示边集 (E) 的大小。
• 路径相关定义
  • 单色路径 ：若路径 (\pi) 的所有边都被同一种颜色 (c_j\in C) 着色，则称 (\pi) 为单色路径。
  • 内部不相交路径 ：两条路径 (\pi’) 和 (\pi’‘) 若不共享任何内部顶点，则称它们内部不相交；一组路径 (P) 若其中的路径两两内部不相交，则称 (P) 为内部不相交路径集。
  • 颜色不相交路径 ：两条单色路径 (\pi’) 和 (\pi’‘) 若内部不相交且颜色不同，则称它们颜色不相交。
• 问题定义
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