[日常训练] CZA的蛋糕

最新推荐文章于 2022-03-23 19:04:23 发布

Log_x

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分类专栏：日常训练文章标签：深度优先搜索状压DP

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/bzjr_Log_x/article/details/76445952

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本文介绍了一个有趣的算法问题：如何在一块布满蜡烛的蛋糕上放置最多数量的海苔，使得无法再放置新的2x1或1x2的海苔。通过使用状压DP和搜索的方法，文章详细阐述了解决该问题的过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【问题描述】

cza特别喜欢吃海苔，怎么吃也吃不够。cza的生日到来时，他的父母给他买了许许多多的海苔和一个生日蛋糕。海苔是一个1 $\times$ 2或2 $\times$ 1的长方形，而蛋糕则是一个n $\times$ m的矩阵。蛋糕上有一些蜡烛占据了位置，其他地方都可以放海苔。cza的父母让cza把海苔尽可能多的放在蛋糕上，但是海苔不能够重叠放置。cza想把海苔留着自己以后慢慢吃，可又不敢违背父母，于是他决定放一少部分在蛋糕上。为了不使父母起疑，cza必须确保放置完海苔后，蛋糕上不存在1 $\times$ 2和2 $\times$ 1的空白以放置更多的海苔。cza想知道这样得花多少海苔，请帮助他求出满足这样放置所需的最少海苔数。

【输入格式】

输入的第一行是蛋糕的规模n和m（注意是n行m列）
接下来的n行每一行含m个字符。每个字符要么是”.”，表示空白；要么是”*”，表示蜡烛

【输出格式】

输出文件只包含一个整数k，表示满足题目要求的最小海苔数。

【输入样例】

3 3
…
.*.
…

【输出样例】

【数据范围与约定】

对于30%的数据N<=5，M<=5。
对于100%的数据N<=70， M<=7。

【分析】状压DP + 搜索

看到数据范围 $M \le 7$ ，很容易想到用一个7位二进制数表示某一行的每个位置上是否有海苔
因为在某一行上放海苔可能会影响到下一行的状态（在这一行放 $2\times1$ 的海苔），所以我们记 $f[i][sta_i][sta_{i + 1}]$ ，表示选取到第 $i$ 行，第 $i$ 行的状态为 $sta_i$ ，第 $i + 1$ 行的状态为 $sta_{i + 1}$ 所放的最小海苔数
我们枚举上一次的状态来转移，对于这一次可能出现的状态及其所需放的海苔数，直接暴搜出来转移即可
那么 $DP$ 初值为 $f[0][2^m - 1][s_1] = 0$ （ $s_1$ 表示第一行的蜡烛摆放状态，因为蜡烛所在位置是不能放的），这里我们假定存在第 $0$ 行且其已经放满，因为在第 $1$ 行某个位置不放其实是没有关系的
而最后的答案 $Answer = Min(f[n][sta_n][0])$ ，因为假定的第 $n + 1$ 行我们是不能放的

【代码】

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;
const int Maxn = 0x3f3f3f3f;
const int N = 75, M = (1 << 7) + 5;
int f[2][M][M], a[N]; char c[10];
int i, j, k, n, m, Ans = Maxn;

inline void CkMin(int &x, const int &y) {if (x > y) x = y;}

inline void Dfs(const int &x, const int &opx, const int &opy, const int &opz, const int &stp)
//opx表示当前第i - 1行的海苔状态，opy表示当前第i行的海苔状态，opz表示当前第i + 1行的海苔状态 
{
    if (x > 0 && (opx & (1 << x - 1)) == 0 && (opy & (1 << x - 1)) == 0) return ;
    if (x > 1 && (opy & (1 << x - 1)) == 0 && (opy & (1 << x - 2)) == 0) return ;
    if (x == m) return CkMin(f[i & 1][opy][opz], f[i - 1 & 1][j][k] + stp);
    if ((opy & (1 << x)) == 0 && (opz & (1 << x)) == 0)
     Dfs(x + 1, opx, opy | (1 << x), opz | (1 << x), stp + 1);
    if (x < m - 1 && (opy & (1 << x)) == 0 && (opy & (1 << x + 1)) == 0)
     Dfs(x + 2, opx, opy | (1 << x) | (1 << x + 1), opz, stp + 1); 
     Dfs(x + 1, opx, opy, opz, stp);
}

int main() 
{
    freopen("cake.in", "r", stdin);
    freopen("cake.out", "w", stdout); 
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%s", c + 1);
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
         if (c[j] == '*') a[i] |= (1 << j - 1); 
    }
    int T = (1 << m);
    for (j = 0; j < T; ++j)
     for (k = 0; k < T; ++k) f[0][j][k] = Maxn;
    f[0][T - 1][a[1]] = 0;
    for (i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (j = 0; j < T; ++j)
         for (k = 0; k < T; ++k) f[i & 1][j][k] = Maxn;
        for (j = 0; j < T; ++j)
         for (k = 0; k < T; ++k)
          if (f[i - 1 & 1][j][k] < Maxn)
           Dfs(0, j, k, a[i + 1], 0); 
    }
    for (j = 0; j < T; ++j) CkMin(Ans, f[n & 1][j][0]);
    printf("%d\n", Ans);
}