AT5663「AGC040E」Prefix Suffix Addition

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• AT5663

Solution

• 在操作所加的序列前添加上若干个 $0$ 就可以看做是任选一个区间加上单调不下降序列或单调不上升序列。

• 由调整法可知，就其中一种操作而言，方案中区间覆盖的范围一定可以做到不相交。

• 设 $b_i,c_i$ 分别表示操作 1 和操作 2 在第 $i$ 个位置加上的权值，满足 $\forall 1\le i\le n,b_i+c_i=a_i$。

• 于是在确定 $b,c$ 的情况下，最优的方案就是在将 $b,c$ 中为 $0$ 的元素删去后，将 $b$ 划分为尽量少的单调不下降序列，将 $c$ 划分为尽量少的单调不上升序列。

• 令 $a_0=a_{n+1}=0$，则最优的答案就为 $\sum _{i=0}^n([b_i>b_{i+1}]+[c_i<c_{i+1}])$。

• 因此朴素的 DP 就是设 $f_{i,j}$ 表示已经处理了前 $i$ 个位置、$b_i=j$ 的最少操作数。

• 由调整法可知， $f_{i,j}$ 在固定 $i$ 时随着 $j$ 的增大单调不上升，并且 $f_{i,0}\le f_{i,a_i}+2$， 可以将 $f_{i,j}$ 中权值相同的并成一块进行转移，显然块数只有常数级别。

• 时间复杂度 $\mathcal{O}(n)$。

Code

#include <bits/stdc++.h>

template <class T>
inline void read(T &res)
{
	char ch;
	while (ch = getchar(), !isdigit(ch));
	res = ch ^ 48;
	while (ch = getchar(), isdigit(ch))
		res = res * 10 + ch - 48;
}

template <class T>
inline T Max(T x, T y) {return x > y ? x : y;}
template <class T>
inline T Min(T x, T y) {return x < y ? x : y;}

using std::vector;
const int N = 2e5 + 5;
int a[N], n;

struct seg
{
	int l, r;

	seg() {}
	seg(int L, int R):
		l(L), r(R) {}

	inline bool Empty()
	{
		return l > r;
	}

	inline seg operator & (const seg &a) 
	{
		return seg(Max(l, a.l), Min(r, a.r)); 
	}

	inline seg operator ^ (const seg &a)
	{
		return a.l == l ? seg(a.r + 1, r) : seg(l, a.l - 1);
	}
};

struct node
{
	seg a;
	int v;

	node() {}
	node(seg A, int V):
		a(A), v(V) {}

	inline bool operator < (const node &a) const
	{
		return v < a.v;
	}
};

vector<node> now, nxt, cur;

int main()
{
	freopen("operate.in", "r", stdin);
	freopen("operate.out", "w", stdout);

	read(n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		read(a[i]);
	now.push_back(node(seg(0, 0), 0));
	for (int i = 1; i <= n + 1; ++i)
	{
		int det = a[i] - a[i - 1];
		seg lim = seg(0, a[i]), tmp;

		cur.clear();
		for (node x : now)
		{
			tmp = seg(0, Min(det + x.a.r - 1, x.a.r - 1)) & lim;
			if (!tmp.Empty())
				cur.push_back(node(tmp, x.v + 2));
			tmp = seg(det + x.a.l, x.a.r - 1) & lim;
			if (!tmp.Empty())
				cur.push_back(node(tmp, x.v + 1));
			tmp = seg(x.a.l, det + x.a.r - 1) & lim;
			if (!tmp.Empty())
				cur.push_back(node(tmp, x.v + 1));
			tmp = seg(Max(x.a.l, det + x.a.l), a[i]) & lim; 
			if (!tmp.Empty())
				cur.push_back(node(tmp, x.v));
		}
		std::sort(cur.begin(), cur.end());
		now.clear();
		for (node x : cur)
		{
			seg res = x.a;
			for (node y : now)
			{
				tmp = res & y.a;
				if (!tmp.Empty())
					res = res ^ tmp;
				if (res.Empty())
					break ;
			}
			if (!res.Empty())
				now.push_back(node(res, x.v));
		}
	}
	printf("%d\n", now[0].v);

	fclose(stdin); fclose(stdout);
	return 0;
}