P7442 「EZEC-7」维护序列 题解

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可怜的 dead_X 收不了歌，于是他出了个水题并给参赛者送了 $100$ 分。

2022 Update: 已经收了，很水。

题目描述

你需要维护一个序列。

这个序列开始时有 $2^n$ 个数，下标从 $0$ 开始。第 $i$ 个数初始值为 $i$，需要支持以下三种操作：

• 定义 $a$ 为所有下标为偶数的数组成的子序列，$b$ 为所有下标为奇数的数组成的子序列，将 $a,b$ 连接，构成新的序列。
• 定义 $a$ 为所有下标为奇数的数组成的子序列，$b$ 为所有下标为偶数的数组成的子序列，将 $a,b$ 连接，构成新的序列。
• 查询下标为 $x$ 的数。

总共将进行 $m$ 次操作。

输入格式

第一行输入两个正整数 $n,m$。

接下来输入 $m$ 行，每行输入两个非负整数 $op,x$，代表一次操作。

如果 $op=1$，若 $x=0$，代表第一种操作，若 $x=1$，代表第二种操作。

如果 $op=2$，代表第三种操作，参数 $x$ 即为输入的 $x$。

输出格式

对于每个 $op=2$ 输出一行，即对应的数。

输入输出样例 #1

输入 #1

2 7
2 0
1 0
2 1
1 1
2 2
1 0
2 3

输出 #1

0
2
0
1

说明/提示

【样例解释】

所有操作前后的序列从左至右的数如下：
{ 0 , 1 , 2 , 3 } \{0,1,2,3\} {0,1,2,3}
下标为 $0$ 的数为 $0$。
{ 0 , 2 } , { 1 , 3 } \{0,2\},\{1,3\} {0,2},{1,3}
{ 0 , 2 , 1 , 3 } \{0,2,1,3\} {0,2,1,3}
下标为 $1$ 的数为 $2$。
{ 2 , 3 } , { 0 , 1 } \{2,3\},\{0,1\} {2,3},{0,1}
{ 2 , 3 , 0 , 1 } \{2,3,0,1\} {2,3,0,1}
下标为 $2$ 的数为 $0$。
{ 2 , 0 } , { 3 , 1 } \{2,0\},\{3,1\} {2,0},{3,1}
{ 2 , 0 , 3 , 1 } \{2,0,3,1\} {2,0,3,1}
下标为 $3$ 的数为 $1$。

【数据范围】

本题采用捆绑测试。

• Subtask 1（10 points）：不存在 $op=1$ 的操作。
• Subtask 2（10 points）：$n\le 10，m\le 10^3$。
• Subtask 3（20 points）：$n\le 10$。
• Subtask 4（20 points）：$m\le 10^3$。
• Subtask 5（20 points）：对于 $op=1$ 的操作，$x=0$。
• Subtask 6（20 points）：无特殊限制。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 32$，$1\le m\le 10^6$。

若 $op=1$， x ∈ { 0 , 1 } x\in\{0,1\} x∈{0,1}，若 $op=2$，$0\le x<2^n$。

题目解析

给你一个长度为 $2^n$ 的序列，下标从 $0$ 开始，初始时每个元素的值等于他的下标。执行以下操作：

1. 将下标为奇数的元素子序列接到下标为偶数的元素后。
2. 将下标为偶数的元素子序列接到下标为奇数的元素后。
3. 求下标 $x$ 的元素的值。

思路

标签：位运算。

我们遇见这种显然不能暴力的题目，要先把样例画出来，或者自己找一下规律。

以 $n=2$ 为例，原式为 { 0 , 1 , 2 , 3 } \{ 0,1,2,3 \} {0,1,2,3}。

执行操作 $1$ 后，原式为 { 0 , 2 , 1 , 3 } \{ 0,2,1,3 \} {0,2,1,3}。

执行操作 $2$ 后，原式为 { 1 , 3 , 0 , 2 } \{ 1,3,0,2 \} {1,3,0,2}。

执行操作 $1$ 再执行操作 $2$ 后，原式为 { 2 , 3 , 0 , 1 } \{ 2,3,0,1 \} {2,3,0,1}。

把这四个式子转成二进制：

• $00,01,10,11$
• $00,10,01,11$
• $01,11,00,10$
• $10,11,00,01$

发现什么没有？操作 $1$ 相当于把二进制的最高位转到最低位，操作 $2$ 则是在操作 $1$ 的基础上异或 $1$ 。你可以试试再打一下 $n=3$ 的情况，这里不再赘述。

所以我们记录当前转了 $x$ 次和结果要异或 $y$。如果 $x=n$ 次就归零。我们可以看见第四个式子其实是异或了 $2$ 的，这是为什么呢？转了一次之后，原本 $1$ 的位置就会左移，所以我们对于每个 $2$ 操作要做 $y\leftarrow y\oplus 2^x$ ，再把 $x$ 加上一。

最后的输出怎么处理呢？原本下标 $x$ 处的值就是 $x$ ，然后原本的数字我们先右移 $n-x$ 位，表示将前 $x$ 位移动到末尾，然后把原数与 $2^{n-x}-1$ 取按位与得到没有被移到末尾的数，把他们左移 $x$ 位。最后把两个值取按位或，在与 $y$ 取按位异或即可。注意特判 $x=0$ 的情况，这时只需将原数与 $y$ 按位异或即可。

公式就是 $(x\gg (n-x))|((x\&((1\ll (n-x))-1))\ll x)\oplus y$ 。

CODE

#include<iostream>
#define int long long
using namespace std;
int n,m;
int turn,xors;
signed main()
{
    cin >> n >> m;
    while(m--)
    {
        int op,x;
        cin >> op >> x;
        if(op == 1)
        {
            if(x) xors ^= (1ll << turn);
            turn++;
            turn %= n;
        }
        else
        {
            if(turn)
            {
                cout << (((x >> (n - turn)) | ((x & ((1ll << (n - turn)) - 1)) << turn)) ^ xors);               
            }
            else cout << (x ^ xors);
            cout << '\n';
        }
    }
}