三分相关知识

我们可以用二分便捷的找出函数的零点，那如果要找函数的最值该怎么办呢？

三分是什么

三分是二分的扩展，可以便捷的求出单峰函数的极值点。

单峰函数是指可以用一个点把函数分为单调上升和单调下降两部分。看上去像一座孤立的山峰（或者倒过来）。

三分怎么做

三分需要一个参数 $eps$ 表示允许的最大误差。

三分的做法和二分特别像，但二分是用 $mid$ 跑函数，而三分是用 $mid-eps$ 和 $mid+eps$ 两个数跑函数，故名三分。

我们先选取区间 $l,r$ ，然后像二分一样求出 $mid$ ，再把 $mid-sec$ 和 $mid+sec$ 代入函数。如果前者结果更大，说明现在是处于单调上升，否则是处于单调下降。

long double eps = 0.0000000001,rsec = 10000,lsec = -10000;
while(rsec - lsec > eps)
{
	long double mid = (rsec + lsec) / 2,sumx = -1e12,sumy = -1e12;
	long double x = mid - eps,y = mid + eps;
	sumx = f(x);
	sumy = f(y);
	if(sumx > sumy) lsec = mid;
	else rsec = mid;
}

这份代码求函数 $f(x)$ 在 $-10000\le x\le 10000$ 时则极小点。如果把后面的 if 判断的大于换成小于，就可以求极大点。

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题面

题目描述

给定 $n$ 个二次函数 $f_1(x),f_2(x),\dots ,f_n(x)$（均形如 $a{x}^2+bx+c$），设 F ( x ) = max ⁡ { f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , . . . , f n ( x ) } F(x)=\max\{f_1(x),f_2(x),...,f_n(x)\} F(x)=max{f1​(x),f2​(x),...,fn​(x)}，求 $F(x)$ 在区间 $[0,1000]$ 上的最小值。

输入格式

输入第一行为正整数 $T$，表示有 $T$ 组数据。

每组数据第一行一个正整数 $n$，接着 $n$ 行，每行 $3$ 个整数 $a,b,c$，用来表示每个二次函数的 $3$ 个系数，注意二次函数有可能退化成一次。

输出格式

每组数据输出一行，表示 $F(x)$ 的在区间 $[0,1000]$ 上的最小值。答案精确到小数点后四位，四舍五入。

输入输出样例 #1

输入 #1

2
1
2 0 0
2
2 0 0
2 -4 2

输出 #1

0.0000
0.5000

说明/提示

对于 $50\%$ 的数据，$n\le 100$。

对于 $100\%$ 的数据，$T<10$，$n\le 10^4$，$0\le a\le 100$，$|b|\le 5\times 10^3$，$|c|\le 5\times 10^3$。

题目分析

已知函数 $f_i(x)=a_i{x}^2+b_{i}x+c_i$，$F(x)=\max (f_i(x))$ ，当 $0\le x\le 1000$ 时，求 $F(x)$ 的最小值。

题目思路

三分模版。

注意到保留 $4$ 位小数，于是把 $eps$ 设为 $10^{-10}$ ，然后 $l=0,r=1000$ 做三分，如果小的 $x$ 比大 $x$ 的结果要小就把 $mid$ 减少，不然把 $mid$ 增加。

CODE

#include<iostream>
using namespace std;
int t,n;
int a[10004],b[10004],c[10004];
long double eps = 0.0000000000003;//精度！long double！！！
int main()
{
	cin >> t;
	while(t--)
	{
		long double ans = -1e12;
		cin >> n;
		for(int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];
		long double lsec = 0,rsec = 1000;
		while(rsec - lsec > eps)
		{
			long double mid = (rsec + lsec) / 2,sumx = -1e12,sumy = -1e12;
			long double x = mid - eps,y = mid + eps;
			for(int i = 1;i <= n;i++)
			{
				sumx = max(sumx,a[i] * x * x + b[i] * x + c[i]);
				sumy = max(sumy,a[i] * y * y + b[i] * y + c[i]);
			}
			if(sumx > sumy) lsec = mid;
			else rsec = mid;
		}
		for(int i = 1;i <= n;i++)
		{
			ans = max(ans,a[i] * lsec * lsec + b[i] * lsec + c[i]);
		}
		printf("%.4llf\n",ans);
	}
}