从积性函数到莫比乌斯反演

积性函数

积性函数：对于数论函数 $f$ ，若任意互质的 $p,q$ 都有 $f(pq)=f(p)f(q)$ ，则称 $f$ 是积性函数。
完全积性函数：对于数论函数 $f$ ，若任意的 $p,q$ 都有 $f(pq)=f(p)f(q)$ ，则称 $f$ 是完全积性函数。
定义逐点加法：$(f+g)(x)=f(x)+g(x),(f\cdot g)(x)=f(x)g(x)$ 。

定理：积性函数一定满足 $f(1)=1$ 。
证明：设 $f(a)\ne 0$ ，则 $f(a)=f(1\times a)=f(1)f(a)$ 。显然 $f(1)=1$ 。

定理：对于任意的 $n>1,n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}$ ，则对积性函数 $f$ 有： $f(n)={\prod }_{i=1}^{s}f(p_i^{a_i})$ 。

凡是积性函数都可用线性筛求。

若 $f,g$ 是积性函数，则下列函数也是积性函数。
$$\begin{array}{rl}h(x)=& f(x^p)\\ h(x)=& f^p(x)\\ h(x)=& f(x)g(x)\\ h(x)=& \sum _{d\mid x}f(d)g(\frac{x}{d})\end{array}$$

常见积性函数

定义：在 全体正整数（或全体整数）上定义的函数称作数论函数或算术函数。（当然，更一般些，也可把数论函数看作是在某一整数集合上定义的函数。）
下面来列举一些定义在全体自然数集合上的数论函数。

1. 狄利克雷卷积的单位元 $\epsilon (n)$
   $$\begin{array}{l}\epsilon (n)=\{\begin{array}{c}1n=1\\ 0n>1\end{array}\end{array}$$

2. 除数函数 ${\sigma }_{\lambda }(n)$ ，$\lambda$ 为实数。 ${\sigma }_{\lambda }(n)={\sum }_{d\mid n}{d}^{\lambda }$ 。

   • 当 $\lambda =0$ ， $n$ 的所有正因子数目，通常记作 $d(n)$ 或 $\tau (n)$ ，$d(n)={\sum }_{d\mid n}1$ 。
   • 当 $\lambda =1$ ， $n$ 的所有正因子和，通常记作 $\sigma (n)$ ，$\sigma (n)={\sum }_{d\mid n}d$ 。

3. $i{d}^k(n)=n^k$ ，幂函数

4. $id(n)=n$ ，单位函数（恒等函数）

5. $1$$(n)=i{d}^0(n)=n^0=1,n⩾1$ 不变函数

6. 欧拉函数 $\phi (n)$ ，$$\begin{gathered} \phi (n)={\sum }_{1⩽d⩽n \\ (d,n)=1}1 \end{gathered}$$

7. 莫比乌斯函数 $\mu (n)$​
   $$\mu (n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& n\text{ 含有平方因子}\\ (-1{)}^k& k\text{ 为 }n\text{ 的本质不同质因子个数}\end{array}$$

莫比乌斯函数

性质：${\sum }_{d\mid n}\mu (d)=[n=1]$ 。即 ${\sum }_{d\mid n}\mu (d)=\epsilon (n)$ ，$\mu \ast 1=\epsilon$ ，$\ast$ 为狄利克雷卷积。
证明：当 $n=1$ 时，显然成立。设 $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_s^{{\alpha }_s}$ ，则由 $\mu (n)$ 的定义知

$\begin{array}{rl}\sum _{d\mid n}\mu (d)& =\mu (1)+\mu (p_1)+\cdots +\mu (p_s)+\mu (p_1{p}_2)+\cdots +\mu (p_{s-1}{p}_s)+\cdots +\mu (p_1{p}_2\cdots p_s)\\ & =1+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{1}\right)(-1)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{2}\right)(-1{)}^2+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{s})(-1{)}^s\\ & =0\end{array}$

由上可知，对于整数 $i,j$ ，有 $[\gcd (i,j)=1]=\sum _{d\mid \gcd (i,j)}\mu (d)$ 。

数论函数 $f$ 的 莫比乌斯变换： $F(n)={\sum }_{d\mid n}f(d)$ 。 $F$ 也称作 $f$ 的和函数。
由和函数 $F$ 求 $f$ 的操作称为 莫比乌斯反演 ： $f(n)={\sum }_{d\mid n}\mu (d)F(\frac{n}{d})$ 。

$\mu$ 是积性函数。
证明：

线性筛求莫比乌斯函数。

int p[N], cntp;
bool st[N];
int mu[N];
void get_mu(int n)
{
	mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(!st[i])
            p[++cntp] = i, mu[i] = -1;
        for(int j = 1; p[j] <= n / i; j++) {
            st[p[j] * i] = true;
            if(i % p[j] == 0) {
                mu[p[j] * i] = 0;
                break;
            }
            mu[p[j] * i] = -mu[i];
        }
    }
}

Dirichlet 卷积

定义：若 $f,g$ 是两个数论函数，则 $f,g$ 的狄利克雷卷积是 $(f\ast g)(n)={\sum }_{d\mid n}f(d)g(\frac{n}{d})$ 。

运算规律

交换律：$f\ast g=g\ast f$
证明：$(f\ast g)(n)={\sum }_{d\mid n}f(d)g(\frac{n}{d})={\sum }_{d\mid n}f(\frac{n}{d})g(d)=(g\ast f)(n)$ 。

结合律：$f\ast (g\ast h)=(f\ast g)\ast h$
证明：设 $G=g\ast h$ ，$(f\ast G)(n)={\sum }_{ad=n}f(a)G(d)={\sum }_{ad=n}f(d){\sum }_{bc=d}g(b)h(c)={\sum }_{abc=n}f(a)g(b)h(c)$ 。
设 $F=f\ast g$ ，可得到相同结果。

莫比乌斯变换

定理：$I$ 为卷积中的单位元素，亦即 $f\ast I=I\ast f=f$ 。
证明：$(f\ast I)(n)={\sum }_{d\mid n}f(d)I(\frac{n}{d})=f(n)$ 。

定义：若 $F=f\ast u$ ，则 $F$ 称为 $f$ 的莫比乌斯变换，即 $F(n)={\sum }_{d\mid n}f(d)$ 。

莫比乌斯反演

定理：若 $F=f\ast u$ ，则 $f=F\ast \mu$ 称为 $F$ 的莫比乌斯反演。
证明： $F\ast \mu =(f\ast u)\ast \mu =f\ast (u\ast \mu )=f\ast I=f$ 。