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转载自 OI-Wiki 。「SPOJ 5971」LCMSUM求值（多组数据）∑i=1nlcm⁡(i,n)s.t. 1⩽T⩽3×105,1⩽n⩽106\sum_{i=1}^n \operatorname{lcm}(i,n)\quad \text{s.t.}\ 1\leqslant T\leqslant 3\times 10^5,1\leqslant n\leqslant 10^6i=1∑n​lcm(i,n)s.t. 1⩽T⩽3×105,1⩽n⩽106易得原式即∑i=1ni⋅

题目链接：P2568 GCD 。题意给定正整数 nnn ，求 1⩽x, y⩽n1\leqslant x,\ y\leqslant n1⩽x, y⩽n 且 gcd⁡(x, y)\gcd(x,\ y)gcd(x, y) 为素数的数对 x, yx,\ yx, y 有多少对。一个暴力思路这是我第一次 AC 的做法，但它巨慢，也不是正解。但这也是我第一次一发通过紫题！敲完就交！所以要纪念一下。开始推狮子：（以下除法均为向下取整）先枚举质数，再

题目：P2350 [HAOI2012]外星人 。题意给出 N 的质因子分解。令 N=φ(N)N=\varphi(N)N=φ(N) ，求最少进行多少次这样的操作使得 N=1N=1N=1 。（因为 φ(1)=1\varphi(1)=1φ(1)=1 ，所以要限制「最少」）φ(∏i=1npiqi)=∏i=1n(pi−1)piqi−1\varphi(\prod_{i=1}^{n}p_i^{q_i})=\prod_{i=1}^{n}(p_i-1)p_i^{q_i-1}φ(∏i=1n​piqi​​)=∏i=1n

原题链接：P1516 青蛙的约会步骤由 ax≡b ( mod  m)ax\equiv b\ (\bmod\ m)ax≡b (mod m) 得到 ax−my=bax-my=bax−my=b 。最终得到 ad(x−x0)=md(y−y0)\dfrac{a}{d}(x-x_0)=\dfrac{m}{d}(y-y_0)da​(x−x0​)=dm​(y−y0​) 。求 gcd(a, m) 时，a,ma, ma,m 的正负影响 gcd 的正负，但 gcd 的正负不影响 有