概率论2-随机过程

最新推荐文章于 2025-02-24 14:28:13 发布

buracag_mc

最新推荐文章于 2025-02-24 14:28:13 发布

阅读量903

点赞数 1

分类专栏：技术备忘基础知识

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/buracag_mc/article/details/93639015

版权

同步于Buracag的博客;音尘杂记

随机过程（Stochastic Process） 是一组随机变量 $X_t$ 的集合，其中 $t$ 属于一个索引（index）集合 $T$ 。索引集合 $T$ 可以定义在时间域或者空间域，但一般为时间域，以实数或正数表示。当t为实数时，随机过程为连续随机过程；当t为整数时，为离散随机过程。

日常生活中的很多例子包括股票的波动、语音信号、身高的变化等都可以看作是随机过程。常见的和时间相关的随机过程模型包括伯努利过程、随机游走（Random Walk）、马尔可夫过程等。和空间相关的随机过程通常称为随机场（Random Field）。比如一张二维的图片，每个像素点（变量）通过空间的位置进行索引，这些像素就组成了一个随机过程。

1. 马尔可夫过程

马尔可夫性质 在随机过程中，马尔可夫性质（Markov Property）是指一个随机过程在给定现在状态及所有过去状态情况下，其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态。以离散随机过程为例，假设随机变量 $X_0,X_1, ... ,X_T$ 构成一个随机过程。这些随机变量的所有可能取值的集合被称为状态空间（State Space）。如果 $X_{t+1}$ 对于过去状态的条件概率分布仅是 $X_t$ 的一个函数，则
$P(X_{t+1} = x_{t+1}|X_{0:t} = x_{0:t}) = P(X_{t+1} = x_{t+1}|X_t = x_t) \tag{1}$
其中 $X{0:t}$ 表示变量集合 $X_0,X_1, ... ,X_t，x_{0:t}$ 表示为在状态空间中的状态序列。