均衡

均衡

均衡就是在接收端采取的抗ISI的技术。也可以在发送端做信号处理抗ISI，比如多载波调制以及扩频系统。

当时延扩展与码元周期可比时，会引起ISI。

均衡器中的噪声增强

考虑一个通信系统，接收端获得的信号是$Y(f)=S(f)H(f)+N(f)$那么最简单的一种均衡器的设计就是反转信道响应，频率响应为$\frac{1}{H(f)}$。但若$H(f)$存在极小值（或零点），噪声经过此均衡器之后就会增强许多（甚至好几个数量级）。

线性均衡器（通常直接反转信道响应）的噪声增强效应要大于非线性增强。

均衡器的类型

最优的均衡技术是MLSE，最大似然序列估计，在性能比较时常用作上界。

最常用的是实现简单，但又性能不错的判决反馈均衡DFE

分为逐符号均衡SBS以及序列估计均衡SE。

折叠谱和无ISI传输

匹配滤波器是为了使得接收信号的信噪比最大化。

严格意义上的接收匹配滤波器的冲击响应=发送端匹配滤波器*信道响应。但由于信道未知，故一般与发送端匹配滤波器。

折叠谱指的是频谱周期性延拓的频谱。

无ISI的条件：1、折叠谱是平坦的2、抽样率大于2W。

线性均衡

对于线性均衡：

$$H_{eq}(z)=\sum _{i=-L}^L{w}_i{z}^{-i}$$

首要目标是要1）给出抽头权值；2）给出抽头更新算法。

• 迫零均衡（zero-forcing，ZF）完全消除ISI，噪声增强显著。
• 最小均方误差均衡（minimun mean-square error,MMSE）降低ISI、避免噪声增强，最小化以及输出符号的均方误差。

迫零均衡

使用z变换表示，均衡器输入表示为：

$$Y(z)=D(z)F(z)+N_g(z)$$

显然，若要使ISI消除，则应：

$$H_{ZF}=\frac{1}{F(z)}$$

此时，噪声的功率谱密度为

$$N(z)=\frac{N_0}{|H(z){|}^2}$$

由此式明显看到，如果$H(z)$存在明显的衰落，那么噪声增强将会相当明显。

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就具体实现而言，也就是求出逼近$H_{ZF}$的多项式，有可能是无限项。那么需要使用有限项来逼近，使得：

$$|\frac{1}{F(z)}-(w_{-L}{z}^L+...w_L{z}^{-L}){|}^2\to 0$$

一种可行的办法是展开为无限项，用中间项近似。

最小均方误差均衡

所谓最小均方误差，就是指$E[d_k-{\hat{d}}_k{]}^2$最小，在此要求下优化系数$w$,即：${\hat{d}}_k={\sum }_{i=-L}^L{w}_{i}y[k-i]$。

匹配滤波器使得信噪比最大化，但是使得噪声变成了有色的，分为两步，首先进行噪声白化，继而消除ISI，从而简化设计。

噪声白化滤波器的响应为$\frac{1}{G_m^{\ast }(\frac{1}{z^{\ast }})}$，均衡器表示为（推导主要用到了矩阵论和与优化）：

$$H_{eq}=\frac{G_m^{\ast }(\frac{1}{z^{\ast }})}{F(z)+N_0}$$

二者合一，完整的均衡器为

$$H_{eq}=\frac{1}{F(z)+N_0}$$

• 抵消掉了噪声白化滤波器
• 无噪声时，与ZF一致。
• 有了$N_0$有效的防止了噪声增强。

最大似然序列估计

非线性均衡，不使均衡器

最优的推导是通过概率论来的

判决反馈均衡

判决反馈滤波器由一个前馈滤波器和反馈滤波器。反馈滤波器主要是解决前馈滤波器引起的ISI的问题。

存在误码传播的现象，无法通过信道编码来解决。

最小均方误差较小。

以上内容均来自Goldsmith A. Wireless communications[M]. Cambridge university press, 2005.