10131越大越聪明

本文介绍了一种基于有向无环图(DAG)的动态规划方法,用于解决特定类型的最大路径问题。通过将问题转化为点与边的关系,并定义状态转移方程,实现了对最大路径的有效求解。

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(原题详见UVa10131)

本文主要包含以下内容:

1.数学模型的建立

2.递推伪代码

3.具体实现代码

4.总结


关键字:动态规划    DAG


1.数学模型的建立

本题用基于DAG的动态规划的思想很好解决。而且属于起点终点不固定的DAG.(具体可以参考《算法竞赛入门》中动态规划一章,矩形嵌套问题)

把每只大象视作一个个点,点i,j连通的条件是w[i]<w[j]&&s[i]>s[j].

题目要求能连通的最大路径,因此:


定义d[i]表示由点i出发能连通的最大路径,则 

                   d[i] = max{d[j]+1}       (  w[i]<w[j]&&s[i]>s[j]   )

最终找到最大的那一个的d[i],即为最大路径


2.递推伪代码

一问:递推起点是谁

    答:初始d[n-1];因此i是逆推。

           对于每一个i,  j:0->n-1

           i:n-2->0

二问: d的初始化

   答:d[0->n-1]=1;


伪代码如下:

       for i:n-2->0

           d[i] = 1;

          do for j:0->n-1  (注:如果把w[i]按照从小到大排序,s[i]换成对应的位置的话,此处j可以从i+1开始取)

                   if w[i]<w[j]&&s[i]>s[j] &&d[i]<d[j]+1

                           d[i] = d[j]+1;



3.具体实现代码

   

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

string w[1000];
string s[1000];
int n = 9;
int main(){
	
	
	for (int i = 1; i <=9; i++)
	{
		cin >> w[i];
		cin >> s[i];
	}


	int d[1000];
	d[9] = 1;
	//dp
	for (int i = n - 1; i >= 1; i--){
		d[i] = 1;
		for (int j = i + 1; j <= n; j++){
			if (w[i]<w[j] && s[i]>s[j])
				if (d[i] < d[j] + 1)
					d[i] = d[j] + 1;
		}
	}
	
	//find max
	int start = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		if (d[i] > d[start])start = i;
	
	cout << d[start]<<endl;
	cout << start << " ";
	for (int i = 1; i <=n;i++)
		if (w[start]<w[i] && s[start]>s[i] && d[start] == d[i] + 1)
		{
			cout << i << " ";
			start = i;
		}

	return 0;
	

}

4.总结

像这种DAG动态规划,一个点有多个属性应该考虑定义结构体数组来存储

这题只有两个属性,而且没有对重量进行排序,一开始做的时候没有考虑到,虽然也能做出来,但是多数时候是需要定义结构体数组的。








好的,我可以帮您回答这些数据分析问题。 1. 将state.x77转化为数据框,并完成基本描述: ```R # 转化为数据框 state.df <- as.data.frame(state.x77) # 查看数据框的基本信息 summary(state.df) ``` 2. 给出协方差矩阵和相关系数矩阵: ```R # 协方差矩阵 cov.mat <- cov(state.df) cov.mat # 相关系数矩阵 cor.mat <- cor(state.df) cor.mat ``` 3. 给出p-value矩阵,并说明哪些相关系数是显著的: ```R # 计算相关系数矩阵和p-value矩阵 cor.test.mat <- cor.test(state.df) p.mat <- cor.test.mat$p.value # 打印p-value矩阵 p.mat ``` 在p-value矩阵中,p值小于0.05的相关系数是显著的。 4. 创建一个多元回归模型l1,用其他列的数据来预测谋杀率(全模型): ```R # 创建多元回归模型 l1 <- lm(Murder ~ Population + Income + Illiteracy + Life.Exp + Frost + Area, data = state.df) # 查看模型摘要 summary(l1) ``` 5. 使用逐步回归法找出一个相对好的回归模型l2(选模型): ```R # 使用逐步回归法选择模型 library(MASS) l2 <- stepAIC(l1, direction = "both") # 查看模型摘要 summary(l2) ``` 6. 用文字说明l1和l2的区别,并比较模型的差异好坏等方面: l1是一个包含所有自变量的多元回归模型,而l2是通过逐步回归法筛选得出的比l1更简化的模型。l2中只包含几个最显著的自变量。 可以使用ANOVA比较两个模型的拟合程度,F值越大好,p值好。在这里,l2的拟合程度要比l1好,因为l2的F值更大,p值更小。 ```R # 使用ANOVA比较两个模型的拟合程度 anova(l1, l2) ``` 7. 聪明的你发现这样的l2或许仍然不是最好的模型,请说明为什么不好(可能的理由包括:不符合回归的基本假设,逐步回归准则,数据自身的问题等): 逐步回归法有其局限性,其筛选模型的准则可能并不是最优的。此外,数据本身可能存在非线性关系、异方差性等问题,这些问题可能会影响模型的拟合效果,导致选出的模型并不是最好的。 8. 现在你可以自己发挥想象,根据你写的原因来写一个更好的多元回归模型用于预测谋杀率(提示:加权最小二乘,取log,去极端值,加入非线性变量,使用BIC等其他准则,etc): 在构建更好的多元回归模型时,我们可以考虑以下几个方面: - 数据处理:去除异常值、对变量取对数等; - 变量筛选:使用BIC、AIC等准则进行变量筛选,选择与因变量相关性更强的自变量; - 非线性关系:对自变量进行多项式拟合等处理,考虑非线性关系; - 模型优化:使用加权最小二乘法、引入自定义权重等方式优化模型。 下面是一个使用对数变量、BIC准则和加权最小二乘法优化的多元回归模型: ```R # 对数变量 state.df$logPopulation <- log(state.df$Population) state.df$logIncome <- log(state.df$Income) state.df$logIlliteracy <- log(state.df$Illiteracy) state.df$logArea <- log(state.df$Area) # 筛选变量 l3 <- lm(Murder ~ logPopulation + logIncome + logIlliteracy + logArea, data = state.df) l4 <- lm(Murder ~ logPopulation + logIncome + logIlliteracy, data = state.df) l5 <- lm(Murder ~ logPopulation + logIncome, data = state.df) l6 <- lm(Murder ~ logPopulation, data = state.df) BICs <- c(BIC(l3), BIC(l4), BIC(l5), BIC(l6)) best_model <- which.min(BICs) models <- list(l3, l4, l5, l6) # 加权最小二乘法 weights <- 1 / sqrt(abs(models[[best_model]]$resid)) l7 <- lm(Murder ~ logPopulation + logIncome + logIlliteracy, data = state.df, weights = weights) # 查看模型摘要 summary(l7) ```
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