【AP】average precision

转载：

• 【YOLO学习】召回率（Recall），精确率（Precision），平均正确率（Average_precision(AP) ），交除并（Intersection-over-Union（IoU））

参考：

• Tag: average precision
• 【YOLO学习】召回率（Recall），精确率（Precision），平均正确率（Average_precision(AP) ），交除并（Intersection-over-Union（IoU））
• 【WSI】《Faster R-CNN-Based Glomerular Detection in Multistained Human Whole Slide Images》
• 准确率(Accuracy), 精确率(Precision), 召回率(Recall)和F1-Measure

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1 Geese and airplanes

Suppose you have an image collection consisting of airplanes and geese（鹅）.

You want your system to retrieve（检索） all the airplane images and none of the geese images.

2 TP、FP、FN、TN

• TP（True Positive） is the case in which the proposed bounding box sufficiently overlaps with the ground truth. 飞机的图片被正确的识别成了飞机。
• FP（False Positive） is the case in which the proposed bounding box overlaps with the ground truth insufficiently. （误检，IoU< thresold），大雁的图片（可以理解为背景）被错误地识别成了飞机（可以理解为目标）。
• FN（False Negative） is the ground truth that could not be detected. （漏检），飞机的图片没有被识别出来，系统错误地认为它们是大雁。
• TN（True Negative），大雁的图片没有被识别出来，系统正确地认为它们是大雁。

假设你的分类系统使用了上述假设识别出了四个结果，如下图所示：

那么在识别出的这四张照片中：

• TP = 3 有三个，画绿色框的飞机
• FP（误检） = 1 有一个，画红色框的大雁

没被识别出来的六张图片中：

• TN = 4 这四个大雁的图片，系统正确地没有把它们识别成飞机。
• FN（漏检） = 2 两个飞机没有被识别出来，系统错误地认为它们是大雁。

3 Precision and Recall

Note：算 precision 和 recall 的时候不会涉及到 TN
$$precision=\frac{tp}{tp+fp}=\frac{tp}{P^{\prime }}$$
$$recall=\frac{tp}{tp+fn}=\frac{tp}{P}$$

上述例子中

precision = 3/（3+1） = 0.75
意味着在识别出的结果中，飞机的图片占75%。

recall = 3/（3+2）= 0.6
意味着在所有的飞机图片中，60%的飞机被正确的识别成飞机.。

4 Adjusting the threshold

你也可以通过调整阈值，来选择让系统识别出多少图片，进而改变Precision 或 Recall 的值。
在某种阈值的前提下（蓝色虚线），系统识别出了四张图片，如下图中所示：

分类系统认为大于阈值（蓝色虚线之上）的四个图片更像飞机。
我们可以通过改变阈值（也可以看作上下移动蓝色的虚线），来选择让系统识别能出多少个图片，当然阈值的变化会导致Precision与Recall值发生变化。比如，把蓝色虚线放到第一张图片下面，也就是说让系统只识别出最上面的那张飞机图片，那么Precision的值就是100%，而Recall的值则是20%。如果把蓝色虚线放到第二张图片下面，也就是说让系统只识别出最上面的前两张图片，那么Precision的值还是100%，而Recall的值则增长到是40%。

下图为不同阈值条件下，Precision与Recall的变化情况：

5 Precision-recall curves

如果你想评估一个分类器的性能，一个比较好的方法就是：观察当阈值变化时，Precision与Recall值的变化情况。如果一个分类器的性能比较好，那么它应该有如下的表现：被识别出的图片中飞机所占的比重比较大，并且在识别出大雁之前，尽可能多地正确识别出飞机，也就是让Recall值增长的同时保持Precision的值在一个很高的水平。而性能比较差的分类器可能会损失很多Precision值才能换来Recall值的提高。通常情况下，文章中都会使用Precision-recall曲线，来显示出分类器在Precision与Recall之间的权衡。

6 Approximated Average precision

相比较与曲线图，在某些时候还是一个具体的数值能更直观地表现出分类器的性能。通常情况下都是用 Average Precision来作为这一度量标准，它的公式为：

在这一积分中，其中p代表Precision ，r 代表Recall，p是一个以r为参数的函数，That is equal to taking the area under the curve.

实际上这一积分极其接近于这一数值：对每一种阈值分别求（Precision值）乘以（Recall值的变化情况），再把所有阈值下求得的乘积值进行累加。公式如下：

（定积分定义）分割，做积，求和，取极限

在这一公式中，N代表测试集中所有图片的个数，P(k)表示在能识别出k个图片的时候Precision的值，而 Delta r(k) 则表示识别图片个数从k-1变化到k时（通过调整阈值）Recall值的变化情况。

在这一例子中，Approximated Average Precision的值

=(1 * （0.2-0）) + (1 * (0.4-0.2)) + (0.66 * (0.4-0.4)) + (0.75 * (0.6-0.4)) + (0.6 * (0.6-0.6)) + (0.66 * (0.8-0.6)) + (0.57 * (0.8-0.8)) + (0.5 * (0.8-0.8)) + (0.44 * (0.8-0.8)) + (0.5 * (1-0.8)) = 0.782.$

=(1 * 0.2) + (1 * 0.2) + (0.66 * 0) + (0.75 * 0.2) + (0.6 * 0) + (0.66 * 0.2) + (0.57 * 0) + (0.5 * 0) + (0.44 * 0) + (0.5 * 0.2) = 0.782.

通过计算可以看到，那些Recall值没有变化的地方（红色数值），对增加 Average Precision值没有贡献。

7 Interpolated average precision

不同于Approximated Average Precision，一些作者选择另一种度量性能的标准：Interpolated Average Precision。这一新的算法不再使用P(k)，也就是说，不再使用当系统识别出k个图片的时候Precision的值与Recall变化值相乘。而是使用：

也就是每次使用在所有阈值的Precision中，最大值的那个Precision值与Recall的变化值相乘。公式如下：

下图的图片是Approximated Average Precision 与 Interpolated Average Precision相比较。
需要注意的是，为了让特征更明显，图片中使用的参数与上面所说的例子无关。

很明显 Approximated Average Precision与精度曲线挨的很近，而使用Interpolated Average Precision算出的Average Precision值明显要比Approximated Average Precision的方法算出的要高。

一些很重要的文章都是用Interpolated Average Precision 作为度量方法，并且直接称算出的值为Average Precision 。PASCAL Visual Objects Challenge从2007年开始就是用这一度量制度，他们认为这一方法能有效地减少Precision-recall 曲线中的抖动。所以在比较文章中Average Precision 值的时候，最好先弄清楚它们使用的是那种度量方式。

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8 多类别 precision / recall

手推多分类precision(精确率)、recall(召回率)、F1分数

举例

真实值：[0, 1, 0, 0, 1, 2]
预测值：[0, 2, 1, 0, 0, 2]

混淆矩阵

真实 / 预测	0	1	2
0	2	1	0
1	1	0	1
2	0	0	1

from sklearn.metrics import confusion_matrix
y_true = [0, 1, 0, 0, 1, 2]
y_pred = [0, 2, 1, 0, 0, 2]
print('confusion_matrix:\n', confusion_matrix(y_true, y_pred))

类别 0

真实 / 预测	P	N
P	2	1
N	1	2

类别 1

真实 / 预测	P	N
P	0	2
N	1	3

类别 2

真实 / 预测	P	N
P	1	0
N	1	4

每个类别的 precision 和 recall 组合起来就是所有类别的 precision 和 recall

9 Code

来自：YOLOv5全面解析教程（四）：目标检测模型精确度评估

# 根据PR曲线计算AP   
def compute_ap(recall, precision):  
    """ Compute the average precision, given the recall and precision curves  
    # Arguments  
        recall:    The recall curve (list)  
        precision: The precision curve (list)  
    # Returns  
        Average precision, precision curve, recall curve  
    """  

    # Append sentinel values to beginning and end 将开区间给补上，补成闭合的区间。  
    mrec = np.concatenate(([0.0], recall, [1.0]))   
    mpre = np.concatenate(([1.0], precision, [0.0]))  
      
    # Compute the precision envelope   
    """  
    人为的把PR曲线变成单调递减的,例如:  
    np.maximum(accumulate(np.array([21, 23, 18, 19, 20, 13, 12, 11]) ) => np.array([23, 23, 20, 20, 20, 13, 12, 11])  
    """  
    mpre = np.flip(np.maximum.accumulate(np.flip(mpre)))  
      
    # Integrate area under curve  
    method = 'interp'  # methods: 'continuous', 'interp'  
    if method == 'interp': # 默认采用 interpolated-precision 曲线，  
        x = np.linspace(0, 1, 101)  # 101-point interp (COCO)  
        ap = np.trapz(np.interp(x, mrec, mpre), x)  # integrate  
    else:  # 'continuous'  
        i = np.where(mrec[1:] != mrec[:-1])[0]  # points where x axis (recall) changes  
        ap = np.sum((mrec[i + 1] - mrec[i]) * mpre[i + 1])  # area under curve  
      
    return ap, mpre, mrec