51nod - 1405 树的距离之和

树形DP求节点间距离之和

最新推荐文章于 2022-05-30 23:22:55 发布

brucehb

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分类专栏：树形DP 文章标签：深度优先算法

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本文介绍一种利用树形动态规划方法求解无根树中任意两点间距离之和的问题。通过两次深度优先搜索（DFS），首次计算出以特定节点为根时的所有节点距离之和及子树大小，第二次则基于父节点结果快速得出子节点结果。

给定一棵无根树，假设它有n个节点，节点编号从1到n, 求任意两点之间的距离（最短路径）之和。

Input

第一行包含一个正整数n (n <= 100000)，表示节点个数。
后面(n - 1)行，每行两个整数表示树的边。

Output

每行一个整数，第i(i = 1,2,...n)行表示所有节点到第i个点的距离之和。

Input示例

Output示例

思路：

树形DP。两次dfs，第一次计算出节点1的结果dp[1]，和以i为根的子树的节点数量subTree[i]（包括i），第二次dfs，根据父节点的结果计算子节点的结果：

dp[i] = dp[father] - (subTree[i] - 1) + (n - subTree[i] - 1) = dp[father] + n - 2*subTree[i];

subTree[i] - 1 为i的子节点数量，这些点到i的距离是到父节点的距离减一。

n - subTree[i] - 1 为需要经过父节点到达i的节点数量，均需加一。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MAXN = 1e5 + 5;
 
vector<int> edge[MAXN];
int subTree[MAXN];
ll dp[MAXN];
int n;
bool vis[MAXN];

int dfs1(int u, int depth)
{
	subTree[u] = 1;
	vis[u] = true;
	dp[1] += depth;
	for (int i = 0; i < edge[u].size(); i++)
	{
	    int peer = edge[u][i];
		if (!vis[peer])
		{
			subTree[u] += dfs1(peer, depth + 1);
		}
	}
	
	return subTree[u];
}

void dfs2(int u, int fa)
{
	vis[u] = true;
	if (u != 1)
	{
	    dp[u] = dp[fa] - subTree[u] * 2 + n;
	}
	for (int i = 0; i < edge[u].size(); i++)
	{
	    int peer = edge[u][i];
		if (!vis[peer])
		{
		    dfs2(peer, u);
		}
	}
}

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		int a, b;
		cin >> a >> b;
		edge[a].push_back(b);
		edge[b].push_back(a);
	}
	
	memset(vis, false, sizeof(vis));
	dfs1(1, 0);
	memset(vis, false, sizeof(vis));
	dfs2(1, 0);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cout << dp[i] << endl;
	}
	
	return 0;
}