Noise2Noise(无监督图像去噪) 公式推导

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已于 2025-08-07 22:16:43 修改 · 710 阅读

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#计算机视觉 #人工智能 #深度学习

于 2025-08-07 22:04:19 首次发布

故事梗概：
1.你拍了一张夜景照片，结果全是雪花点（噪声）。
2.传统做法：找一张一模一样的「干净照片」当参考答案，教电脑如何把有噪点的照片修成干净的（这叫监督学习）。
3.Noise2Noise 的脑洞：不需要干净照片！只要两张同一场景、不同随机噪声的照片 A、B，告诉电脑「把 A 修得尽量像 B 就行」。
因为两张噪声是随机的，平均下来电脑就学会去掉噪声，而不会保留任何一张的特殊噪声。

前置知识

期望 (expectation)

$E[Y] = \sum_{i} y_i \cdot P(Y = y_i)$

$E[Y] = \int_{-\infty}^{\infty} y \cdot f(y) \, dy$

均值 (mean)

$\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i$

总体方差（Population Variance）

$\sigma^2 = \mathbb{E}[(Y - \mu)^2]$

其展开形式

$\text{Var}(Y) = E[(Y - E[Y])^2] = E[Y^2] - (E[Y])^2$

样本方差（Sample Variance）

$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2$

联合分布

$\sum_{x} \sum_{y} p(X = x, Y = y) = 1$

边缘分布

$p(X = x) = \sum_{y} p(X = x, Y = y)$

条件分布

$p(Y = y \mid X = x) = \frac{p(X = x, Y = y)}{p(X = x)}$

离散随机变量的期望

$\mathbb{E}[X] = \sum_{x} x \cdot p(X = x)$

连续随机变量的期望

$\mathbb{E}[X] = \int x \cdot p(x) \, dx$

离散随机变量的条件期望

$\mathbb{E}[Y \mid X = x] = \sum_{y} y \cdot p(Y = y \mid X = x)$

连续随机变量的条件期望

$\mathbb{E}[Y \mid X = x] = \int y \cdot p(y \mid x) \, dy$

重期望定律（随机变量 Y 的期望可以表示为条件期望的期望）

$\mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[Y \mid X]]$

对于离散随机变量，这可以写为：

$\mathbb{E}[Y] = \sum_{x} p(X = x) \cdot \mathbb{E}[Y \mid X = x]$

对于连续随机变量，这可以写为：

$\mathbb{E}[Y] = \int p(x) \cdot \mathbb{E}[Y\mid X = x] \, dx$

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