10、抗体结合动力学的数值分析与编程实现

抗体结合动力学的数值分析与编程实现

1. ODE 刚度问题

在数值求解常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）模型时，ODE 积分器的误差容限是决定整体精度的重要因素。例如，指定的相对误差容限（reltol）和绝对误差容限（abstol）设为 1.0×10⁻⁷ 时，会影响 MOL（Method of Lines）方法求解的准确性。改变 ODE 误差容限是一种 h 细化方式，因为像 ode15s 这样的积分器会调整积分区间以达到指定精度，同时它还能进行 p 细化，改变积分算法的阶数（从 1 到 5）。

为了分析 ODE 的误差，我们尝试将 ode15s 替换为 ode45。在主程序中进行如下修改：

mf=1;
if(mf==1) % explicit FDs
    [t,u]=ode45(@pde_1,tout,u0,options); 
end

然而，运行修改后的代码时，计算失败，没有在合理的计算机运行时间内得到解。这是因为 ode15s 适用于刚性 ODE，而 ode45 适用于非刚性 ODE。MOL 对相关方程近似得到的 22 个 ODE 可能存在刚性问题，导致 ode45 求解失败。

为了进一步研究刚性问题，我们使用了固定步长的显式积分器 rk4 替代 ode15s。通过试验，当 nsteps = 100，h = 0.02，nout = 51 时，可以得到稳定解，此时对 ODE 例程 pde_1 的调用次数 ncall = (51 - 1)(100)(4) = 20000。而使用 ode15s 时，ncall = 135，这清楚地展示了 ode15s