5、抛物型偏微分方程的数值求解：理论与实践

抛物型偏微分方程的数值求解：理论与实践

1. 引言

在偏微分方程（PDE）的数值求解领域，双曲型PDE常常带来挑战，尤其是当解存在不连续性或陡峭移动前沿时，线性有限差分（FD）方法往往难以给出满意的结果，可能需要特殊的非线性近似，如通量限制器。相比之下，抛物型PDE通常更容易处理，本文将重点探讨抛物型PDE的相关内容。

2. 抛物型PDE的基本方程

一维的傅里叶第二定律（也称为菲克第二定律或扩散方程）是典型的抛物型PDE，其表达式为：
[
\frac{\partial u}{\partial t} = D\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
]
其中，$D$ 是扩散系数。该方程在时间 $t$ 上是一阶的，在空间 $z$ 上是二阶的，因此需要一个初始条件（IC）和两个边界条件（BC）。

初始条件为：
[
u(z, t = 0) = f(z)
]

边界条件有多种类型：
- 狄利克雷（Dirichlet）边界条件 ：
[
u(z = z_l, t) = g_{d,1}(t), \quad u(z = z_u, t) = g_{d,2}(t)
]
- 诺伊曼（Neumann）边界条件 ：
[
\frac{\partial u(z = z_l, t)}{\partial z} = g_{n,1}(t), \quad \frac{\partial u(z = z_u, t)}{\partial z} = g