36、线方法的深入解析与数值结果展示

线方法的深入解析与数值结果展示

1. 空间域系统方程与快速求逆

在处理空间域的系统方程时，变换域中的系统矩阵 (Z_{ik}) 具有块对角的特性。例如，根据公式 (Z_{11} = diag(A_1, \cdots, A_N)) ，其中 (A_i) 为对角元素。利用块对角矩阵和克罗内克积的性质，(Z_{11}) 可通过两次连续的逆变换得到。其他子矩阵 (Z_{ik}) 则依据二维版本的公式进行类似计算，使用 (T’) 和 (T^{ ’}) 分别替代 (T) 和 (T^ ) 。

对于周期性结构，系统矩阵 (Z_{11}) 具有特殊性质，能够实现快速求逆。其中 (D_1) 是循环矩阵，即每一行的元素与上一行相同，但向右移动一位并环绕排列。因此，(T_1) 是傅里叶矩阵，(Z_{11}) 是块循环矩阵，其他子矩阵 (Z_{ik}) 也遵循相同的关系。

以微带阶跃不连续性为例，快速算法的思想得以体现。通过舍弃某些行和列得到 (Z_{11,red}) ，其中 (C) 是块循环矩阵，(R) 是矩形块循环矩阵，(T) 是块托普利茨矩阵。托普利茨矩阵的特点是与主对角线平行的每条对角线上的元素都相同。循环矩阵对应图中的长矩形，托普利茨矩阵对应短矩形，矩形块循环矩阵则对应两者之间的相互作用。

我们通过计算 (det(Z_{11,red}) = det(C) \cdot det(T’)) ，其中 (T’ = T - R \cdot C^{-1} \cdot R^*) 。由于块循环矩阵的乘积和逆仍然是块循环矩阵，所以 (T’) 与 (T) 具有相同的结构。整个算法的时间复杂度为 (O(N^2)) 乘法运算，而众所周知的埃尔米特矩阵 (H_n) 的行列式计算需要