14、代数与几何：从几何代数到射影几何的探索

代数与几何：从几何代数到射影几何的探索

在数学的广阔领域中，几何代数和射影几何是两个重要的分支，它们在不同的方面展现出独特的魅力和应用价值。本文将深入探讨几何代数的基本概念，以及射影几何的起源、原理和模型。

几何代数基础

几何代数的研究建立在向量空间和二次型的基础之上。设向量 $x \in V$ 在标准正交基下的坐标为 $(x_1, \cdots, x_p, x_{p + 1}, \cdots, x_{p + q})$，其中 $p + q = n = \dim V$。定义二次型 $Q(x) = x_1^2 + \cdots + x_p^2 - x_{p + 1}^2 - \cdots - x_{p + q}^2$，这里有 $p$ 个正平方项和 $q$ 个负平方项，$(p, q)$ 被称为二次型 $Q$ 的符号差，且它与基的选择无关。

基于此，我们引入具有符号差 $(p, q)$ 的几何代数 $Cl_{p,q}(V)$。对于一些较小的 $p$ 和 $q$ 值，几何代数与一些我们熟悉的代数同构，例如：
- $Cl_{0,0}(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}$
- $Cl_{0,1}(\mathbb{R}) \cong \mathbb{C}$
- $Cl_{0,2}(\mathbb{R}^2) \cong \mathbb{H}$

下面我们通过比较 $Cl_{0,2}(\mathbb{R}^2)$ 和四元数代数 $\mathbb{H}$ 的乘法表来证明 $Cl_{0,2}(\mathbb{R}^2)$ 与 $\mathbb{H}$ 的同构关系。

$Cl_{0,2}(\mathbb{R}^2)$