23、基于伪骨干边收缩的旅行商问题有效路径搜索

基于伪骨干边收缩的旅行商问题有效路径搜索

旅行商问题（TSP）是一个经典的组合优化问题，旨在找到一条遍历所有城市且每个城市仅访问一次，最后回到起始城市的最短路径。本文将介绍一种通过收缩伪骨干边来有效搜索TSP路径的方法。

伪骨干边收缩的阶段

设TSP实例为一个完全图 $G = (V, E)$，其中 $V$ 是顶点集，$E$ 是边集。该方法包括以下阶段：
1. 寻找起始路径 ：为给定实例找到一组优质路径 $\Omega$，这些路径被称为起始路径。
2. 收集伪骨干边 ：收集所有起始路径中都出现的边，即伪骨干边。形式上，定义集合 $B := {e \in E : e \in \cap_{T_i \in \Omega} T_i}$。设 $V_B := {v \in V : v \in e, e \in B}$，$V^B := V \setminus V_B$。
3. 构建最大路径并收缩 ：构建仅由 $B$ 中伪骨干边组成的所有最大路径。若一条路径满足某属性 $P$ 且不能再添加边而不违反 $P$，则称其为具有属性 $P$ 的最大路径。将每条最大路径收缩为一条边，其端点与路径的端点相同，这种边称为p - 边（路径边）。只有一条伪骨干边的路径，其p - 边就是该边本身。用 $V_C$ 表示所有p - 边的端点集。
4. 构建新的TSP实例 ：构建新的TSP实例 $H = (W, F)$，其中 $W = V^B \cup V_C$，$F = W \times W$。
5. 寻找新实例的优质路径