11、高效生成采购拍卖的 k 个最优解决方案及整数多面体在程序分析中的应用

高效生成采购拍卖的 k 个最优解决方案及整数多面体在程序分析中的应用

1. 采购拍卖：约束简化与解决方案筛选

在采购拍卖问题中，当约束为不等式（如 (c′ ≤C) 或 (c′ ≥C) ）时，相关表示可以简化。假设第二个成本度量为正，对于正的第二个成本度量的上限情况 (c′ ≤C) ，可以将 (X) 限制为 (c′) 的可达值且小于或等于 (C) ，并添加一个失败状态 “fail”。约束表示要么按预期累积 (c′) ，要么在约束被违反时转向 “fail”，因为 (c′) 的单调性保证一旦约束被打破就始终被打破，最终值集合 (Xt = X \setminus \text{fail}) 。对称地，对于正的第二个成本度量的下限情况 (c′ > C) ，使用相同的状态空间，将失败状态替换为成功状态 “success” ，此时最终值集合 (Xt = {\text{success}}) 。

还可以使用量化阈值作为解决方案过滤器。在很多情况下，次要成本度量可能有大量可能状态，使得构建完整约束图不切实际。可以通过某个步长参数 (\delta) 对次要边成本 (B′) 进行量化。如果 (c′) 是正的单调次要成本度量且约束为上限 (c′ ≤C) ，将 (B′) 的所有值向下舍入到最接近的 (\delta) 的倍数，能确保可能的第二个度量值空间更小，并且排除的任何路径都对应违反约束的解决方案。对于下限情况，则向上舍入投标值。

2. 帕累托最优：最小化成本和风险

在采购拍卖中，除了考虑采购特定数量商品的货币成本外，还可以将分配成本定义为失败概率的负对数：
[B_{is}(q) = -\log (\text{Pr}(\text{seller } s \text{ d