猴子分桃问题

问题1:

n个猴子分m个桃子，第一只猴子将m个桃子均匀分成n堆，然后拿走自己的一份，将剩下的并到一起

...第i个猴子将m个桃子均匀分成n堆，拿走自己的一份，将剩下的并在一起

问M的最小值是多少？

/***************/

假设第i个猴子拿走自己的一份后剩下Pi个桃子

那么有以下的关系式

P1＝m*(n-1)/n

P2=P1*(n-1)/n

P3=P2*(n-1)/n

....

那么Pn＝m*((n-1)/n)^n

因为Pn最少为n-1 那么m的最小值至少n^n/(n-1)^(n-1)

又因为m必须为整数，且n-1 于n是互质的

所以m的最小值为n^n

 

/***************/

问题2:

如果每个猴子分成n堆，还剩下k个，求m的最小值

P1=(m-k)*(n-1)/n;

P2=(P1-k)*(n-1)/n;

P3=(P2-k)*(n-1)/n;

...

我们需要对上面的公式进行变换来得到与问题1中类似的对推公式

令P2＋X＝(P1+X)*(n-1)/n

解出X  按照和问题1同样的处理方法就可以了

/***********/

问题3：

如果第i个猴子分成n堆，还剩下i个，求m的最小值？

...

P[i]=(P[i-1]-i)*(n-1)/n

...

按照2的方法我们给两天都加个常数X？

N哦！

这次i不是常数是个参数，如果还记得高中等比数列的知识的话，就知道知道怎么做了。

P[i]+X(i+1)+Y=(P[i-1]+Xi+Y)*(n-1)/n

解出X,Y按照1的处理方式去做

 

/***************/

问题4:

如果第i个猴子分成n堆，还剩下f(i)个，求m的最小值？

P[i]+f(i+1)+g(i)=(P[i-1]+f(i)+g(i-1))*(n-1)/n

 

 

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PS：感觉 从初中到研究生这些年学的数学大多忘了