1架飞机，加满油可以跑1的距离，问N架飞机最多能跑多远

问题：1架飞机，加满油可以跑1的距离，问N架飞机最多能跑多远，要确保除了最远的飞机外，其他飞机都能安全返航？

昨天同学出了这个问题，晚上仔细想了想这个问题还挺有趣的。

首先题目的意思允许我们在不同的飞机之间交换油，也就是一家飞机可以把一部分油分给其他飞机，然后自己再继续飞或者返航

下面分两种情况来考虑

1.假设每架飞机只能加一次油，答案是：N趋向无穷大时为2

(1)首先我们证明不可能超过2

假设飞的最远的飞机A飞了2+x的距离，其中x>0

那么必然有其他飞机在半途上给A加油，并且最后一次加油的地点离出发点>=1+x ，因为A最多只能装下跑1距离的油

现在的问题是给A加油的飞机不可能飞回出发点，因为它给A加油后，自己的油不够跑1的距离，而他离出发点>=1+x。

所以我们证明了不可能超过2，我们以F1，F2,...来表示这些飞机，跑的最远的飞机是F1

(2)我们研究一下一般情况

当N＝2时，我们让两架飞机一起跑到1/3这个地方，然后F2把1/3的油给F1，自己还剩下1/3，然后返航，F1这时候有1的油，继续向前跑1，总共距离是1+1/3

当N＝3时，在1/4这个地方，我们让F3把油分给F1，F2，自己还剩下1/4，F1和F2满油继续向前跑，到了1/2的地方，F2给1/4的油给F1，自己还有1/2，F2返航，F1继续向前跑1的距离，总共的距离是1＋1/2

当N＝n时，在1/(n+1)的地方，我们让Fn把(n-1)/(n+1)的油均分给其他的n-1架飞机，然后自己返航，这是其他n-1架飞机满油继续向前飞，到了2/(n+1)的地方，Fn-1把油分给其他的n-2架飞机，然后自己还有2/(n+1)油，可以安全返航

......最终F2在(n-1)/n+1这个地方，给1/(n+1)的油给F1，然后自己刚好能顺利返航，而F1还能继续飞行1的距离，总共是1+(n-1)/(n+1)

(3)结论

所以当N趋向于无穷大的时候，F1最远能飞2的距离

2.假设每架飞机可以加多次油，答案是：N趋向无穷大是为无穷远

(1)首先每架飞机可以加多次油，所以某些飞机可以在某个区段里面来回跑来接应其他飞机，也就是说我们不用担心这些飞机飞不回来，因为我们可以让其他飞机过来接应他们。有了这个认识，可能已经觉察到F1能飞到无穷远的距离，但这个无穷远到底有多大？

(2)刚才我们从起点推导到最远距离，这次我们换种思维方式，从最远点推导到终点，我们假设最远点离出发点是D

首先看F1，F1跑到了D，那么在D-1的地方有其他飞机给它加满油，让F1继续前进，而他们自己返航。我们假设有两架飞机F2，F3在D-1这个地方给F1加了1的油，然后自己返航到D-1-x的地方刚好没有油,并且在之前的航行中这三架飞机在D-1-x的地方是满油的。

那么有1+2*2*x+1*x=3  则x=2/5

然后在D-1-x这个地方有三架飞机F4，F5，F6给F1，F2，F3加满油，然后自己返航回到D-1-x-y的地方刚好没有油，并且在之前的航行中所有的六架飞机在D-1-x-y这个地方都是满油的

那么有3+2*3*y+3*y=6  则y=2/6

一般情况下我们假设有1+2+3+..+n=(n+1)n/2架飞机在 Dn这个地方都是满油的  到了Dn-1这个地方让1+2+3+...+n-1=(n-1)n/2架飞机都是满油的而剩下的n架飞机则返航到Dn这个地方刚好没有油，这Dn-1到Dn这段距离是d那么有

(n-1)n/2+2*n*d+(n-1)n/2*d=(n+1)n/2  则d＝2/(n+3)

(3)由2的推理得知，当有n(n+1)/2架飞机的时候，我们可以跑1+2/5+2/6+...+2/(n+3)的距离

并且所有的飞机都是可以返航的，因为加油次数没有限制我们可以让从起点出发的n架飞机不停的在Dn-1和Dn之间跑来接应其他飞机，同时n-1架飞机在Dn-1到Dn-2之间跑来接应其他飞机.....

我们注意到数列1+1/2+1/3+...+1/n是发散的，所以当N趋向无穷大的时候F1可以跑无穷远