BZOJ 2818——Gcd

最新推荐文章于 2019-09-10 10:35:00 发布

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本文介绍了如何通过线性筛素数的方法求解给定n时，满足gcd(x,y)==p的对数的问题，并提供了详细的算法实现步骤。包括求互质数的个数、使用欧拉函数和sigma函数来计算最终答案。

题意：给定n，求gcd（x,y)==p 的对数，其中（1<=x<y<n)

思路：

求(x, y) = k, 1 <= x, y <= n的对数等于求(x, y) = 1, 1 <= x, y <= n/k的对数！所以，枚举每个质数p（线性筛素数的方法见：线性时间内筛素数和欧拉函数），然后求(x, y) = 1, 1 <= x, y <= n/p的个数。

那(x, y) = 1的个数如何求呢？其实就是求互质的数的个数。在[1, y]和y互质的数有phi(y)个，如果我们令x < y，那么答案就是sigma(phi(y))。因为x, y是等价的，所以答案*2，又因为(1, 1)只有一对，所以-1。最终答案为sigma(sigma(phi(n/prime[i])) * 2 - 1)。

参考：https://oi.abcdabcd987.com/eight-gcd-problems/

code：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 10000005;
const ll maxn=1e18+100;
int n,len;
int p[N],phi[N];
bool vis[N];

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	len=0;
	for (int i=2;i<=n;i++){
		if (!vis[i]){
			p[len++]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for (int j=0;j<len&&i*p[j]<=n;j++){
			vis[i*p[j]]=1;
			if (i%p[j]) phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
			else{
				phi[i*p[j]] = phi[i] * p[j];
				break; 
			}
		}
	}
	phi[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;i++) phi[i]+=phi[i-1];
	ll ans=0;
	for (int i=0;i<len;i++) ans+=phi[n/p[i]]*2-1;
	printf("%lld",ans);
}