邻接矩阵是一种用二维数组表示图中顶点之间连接关系的数据结构

邻接矩阵是一种用二维数组表示图中顶点之间连接关系的数据结构，其核心内容可根据图的类型分为以下三类：

1. 有向图：邻接矩阵 $ A $ 中，若 $ A[i][j] = 1 $，表示存在从顶点 $ i $ 到顶点 $ j $ 的边；$ A[i][j] = 0 $ 表示无此边。注意此时矩阵不一定对称。

2. 无向图：邻接矩阵 $ B $ 是对称矩阵，即 $ B[i][j] = B[j][i] $，因为边没有方向。只要顶点 $ i $ 和 $ j $ 相连，两个位置都为 1。

3. 网（带权图）：邻接矩阵 $ C $ 中，$ C[i][j] $ 存储的是边的权值。若无边，则用无穷大（∞）表示。这种形式既可用于有向图也可用于无向图。

在代码实现中，通常通过宏定义 MaxN 设定最大顶点数，使用二维数组存储邻接关系，并将顶点数 Vnum 与邻接矩阵封装在 Graph 结构体中。对于无权图可使用 int 类型，而带权图常采用 double 类型以支持浮点权重。

邻接矩阵的特点总结如下：

• ✅ 优点：判断两个顶点间是否有边、查询边的权值操作的时间复杂度为 $ O(1) $，非常高效。
• ❌ 缺点：空间复杂度为 $ O(n^2) $，当图中顶点多而边少（稀疏图）时会造成较大的空间浪费，因此不适合表示大规模稀疏图。

#define MaxN 100

typedef struct {
    int Vnum;           // 顶点数
    double Arcs[MaxN][MaxN]; // 邻接矩阵，带权图用double，无权图可用int
} Graph;

判断一个图是有向图还是无向图，可以通过检查其邻接矩阵是否对称来确定：

• 若邻接矩阵是对称的，即对于所有 $ i \neq j $，都有 $ A[i][j] = A[j][i] $，则该图很可能是无向图。因为在无向图中，边没有方向，顶点 $ i $ 与 $ j $ 之间的连接是双向的。

• 若邻接矩阵不对称，即存在某些位置使得 $ A[i][j] \neq A[j][i] $（例如有 $ A[i][j] = 1 $ 但 $ A[j][i] = 0 $），则说明边具有方向性，该图为有向图。

✅ 注意：在无权图中，通常用 1 表示有边，0 表示无边；在带权图中，需比较对应位置的权值是否相等（忽略无穷大或空值的情况）。

示例：

有向图邻接矩阵（可能不对称）：

    A = [[0, 1],
         [0, 0]]

表示从顶点 0 到 1 有边，但从 1 到 0 没有，不对称 → 有向图。

无向图邻接矩阵（必须对称）：

    B = [[0, 1],
         [1, 0]]

对称 → 无向图。