随机数学通常指涉及随机性、概率和统计的数学领域，它研究不确定现象的规律性

随机数学通常指涉及随机性、概率和统计的数学领域，它研究不确定现象的规律性。主要包括概率论、随机过程、统计推断、随机变量、大数定律、中心极限定理等内容。这些理论广泛应用于金融、物理、生物、工程、人工智能等领域。

例如，一个基本的随机数学问题是：掷一枚公平的硬币10次，出现6次正面的概率是多少？
这可以用二项分布来计算：

$$P(X=6)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{6}\right)\times (0.5{)}^6\times (0.5{)}^4\approx 0.205$$

另一个例子是布朗运动，它是连续时间随机过程的一种，用于描述粒子在液体中的无规则运动，也是金融中股票价格建模的基础（如几何布朗运动）。

import numpy as np

# 模拟掷硬币10次，重复10000次实验，统计出现6次正面的频率
experiments = 10000
success = 0
for _ in range(experiments):
    tosses = np.random.choice([0, 1], size=10)  # 0代表反面，1代表正面
    if np.sum(tosses) == 6:
        success += 1

estimated_prob = success / experiments
print(f"模拟概率: {estimated_prob:.3f}")

随机变量是概率论中的核心概念，它是一个从样本空间到实数的函数，用来表示随机实验结果的数值化输出。例如，掷骰子得到的点数、一天内的降雨量等都可以用随机变量来描述。

离散型随机变量

• 定义：取值为有限个或可数无限个的随机变量。
• 特点：
  • 可以列出所有可能的取值。
  • 每个取值有确定的概率。
  • 使用概率质量函数（PMF, Probability Mass Function） 描述其分布。
• 例子：
  • 掷一枚骰子的结果：X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  • 一天内接到的电话数量（服从泊松分布）

# 二项分布示例：n=5次试验，成功概率p=0.5
from scipy import stats
import numpy as np

X = stats.binom(n=5, p=0.5)
print("离散随机变量的可能取值:", np.arange(6))
print("对应概率:", X.pmf(np.arange(6)))

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连续型随机变量

• 定义：可以在某个区间内取任意实数值的随机变量。
• 特点：
  • 不可能列举所有值（不可数）。
  • 单个具体值的概率为0（P(X = a) = 0）。
  • 使用概率密度函数（PDF, Probability Density Function） 描述其分布。
  • 概率通过积分计算：P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x) dx
• 例子：
  • 一个人的身高、体重
  • 电子元件的寿命（常服从指数分布）
  • 测量误差（常服从正态分布）

# 标准正态分布示例
Y = stats.norm()
x_vals = np.linspace(-3, 3, 100)
pdf_vals = Y.pdf(x_vals)
# 计算 P(-1 < X < 1)
prob_interval = Y.cdf(1) - Y.cdf(-1)
print(f"P(-1 < X < 1) ≈ {prob_interval:.3f}")

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主要区别总结：

特征	离散型随机变量	连续型随机变量
取值类型	有限或可数无限	不可数（区间内任意实数）
概率描述方式	概率质量函数（PMF）	概率密度函数（PDF）
单点概率	P(X = a) > 0	P(X = a) = 0
分布函数	累积分布函数（CDF）是阶梯函数	CDF 是连续函数
数学期望	Σ x·P(X=x)	∫ x·f(x)dx