布朗运动，又称维纳过程（Wiener Process），是连续时间、连续状态的最基本随机过程之一

布朗运动及其应用概述

原创于 2025-11-27 00:00:00 发布 · 477 阅读

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布朗运动（Brownian Motion）

布朗运动，又称维纳过程（Wiener Process），是连续时间、连续状态的最基本随机过程之一。它最初由植物学家罗伯特·布朗在1827年观察花粉微粒在液体中的不规则运动时发现，后经爱因斯坦（1905）和诺伯特·维纳（1923）等人建立数学模型，成为现代概率论与随机分析的核心工具。

一、定义

一个随机过程 $ {B(t)}_{t \geq 0} $ 称为 标准布朗运动（Standard Brownian Motion），如果满足以下四个条件：

初始值为零：$ B(0) = 0 $ 几乎必然
独立增量：对任意 $ 0 \leq s < t \leq u < v $，增量 $ B(t) - B(s) $ 与 $ B(v) - B(u) $ 独立
平稳正态增量：对任意 $ 0 \leq s < t $，
$\sim N(0, t - s)$
路径连续：样本路径 $ t \mapsto B(t) $ 是连续函数（几乎处处成立）

📌 若去掉 $ B(0)=0 $ 的限制，则称其为从某点 $ x $ 出发的布朗运动，记作 $ B_x(t) = x + B(t) $

二、推广形式

1. 带漂移的布朗运动

$\mu t + \sigma B(t)$

$ \mu $：漂移系数（趋势项）
$ \sigma > 0 $：扩散系数（波动率）
应用于金融资产价格建模（如股票）

2. 几何布朗运动（GBM）

$S_0 \exp\left( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma B(t) \right)$

满足随机微分方程：
$\mu S(t) dt + \sigma S(t) dB(t)$
Black-Scholes 期权定价模型的基础

三、关键性质

性质	描述
马尔可夫性	给定当前状态 $ B(t) $，未来演化与过去无关 ⇒ 是马尔可夫过程
鞅性	$ E[B(t) \mid \mathcal{F}_s] = B(s),\ s < t $ ⇒ 是连续时间鞅
无记忆性（来自正态分布）	增量仅依赖于时间差，具有时齐性
不可微性	路径处处连续但几乎处处不可导 ⇒ 极端震荡
二次变差非零	$ B,B = t $，这是伊藤积分理论的基础
尺度不变性（自相似性）	对任意 $ c > 0 $，过程 $ {c^{-1/2} B(ct)} $ 也是标准布朗运动
反射原理	$ P\left(\max_{0 \leq s \leq t} B(s) \geq a\right) = 2P(B(t) \geq a) $，用于首达时间分析

四、首达时间与最大值分布

定义 首达时间（First Passage Time）：
$\tau_a = \inf\{t > 0 : B(t) = a\},\quad a > 0$
则其分布为：
$P(\tau_a \leq t) = 2P(B(t) \geq a) = 2\left(1 - \Phi\left(\frac{a}{\sqrt{t}}\right)\right)$
密度函数为：
$f_{\tau_a}(t) = \frac{a}{\sqrt{2\pi t^3}} e^{-a^2/(2t)},\quad t > 0$
这称为逆高斯分布（Inverse Gaussian Distribution）。

📌 特别地：$ E[\tau_a] = \infty $，即平均首次到达时间为无穷！

五、多维布朗运动

设 $ B_1(t), B_2(t), \ldots, B_d(t) $ 是 $ d $ 个相互独立的标准布朗运动，则向量过程：
$\mathbf{B}(t) = (B_1(t), B_2(t), \ldots, B_d(t))$
称为 $ d $-维标准布朗运动。

每一分量独立且服从一维布朗运动
常用于物理粒子在空间中的随机扩散建模

🔁 Polya 定理指出：当 $ d=1,2 $ 时，d维布朗运动是常返的；当 $ d \geq 3 $ 时为暂态

六、与其它随机过程的关系

关系	说明
随机游走的极限	根据 Donsker 定理，适当缩放后的对称随机游走弱收敛到布朗运动
泊松过程对比

布朗运动：连续状态、路径连续、无限变差
泊松过程：离散跳跃、有限变差、不连续路径 |
| 伊藤过程的一般化 | 布朗运动是所有扩散过程的基本“驱动噪声” |
| 作为高斯过程 | 布朗运动是均值为0、协方差函数为 $ \min(s,t) $ 的高斯过程 |

七、应用领域

领域	应用方式
金融工程	股价建模（几何布朗运动）、利率模型、期权定价
物理学	微观粒子的热运动、扩散方程解的概率表示
生物学	动物迁徙路径、细胞内分子运动
信号处理	噪声建模（白噪声积分）
机器学习	扩散模型（Diffusion Models）中前向过程基于布朗运动设计
偏微分方程	利用费曼-卡茨公式将PDE解表示为布朗运动的期望

八、模拟方法（Python 示例）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def simulate_brownian_motion(T, N):
    """模拟 [0, T] 上的布朗运动，N 为步数"""
    dt = T / N
    dW = np.random.normal(0, np.sqrt(dt), N)  # 增量 ~ N(0, dt)
    W = np.cumsum(dW)
    W = np.insert(W, 0, 0)  # 加上 B(0) = 0
    t = np.linspace(0, T, N+1)
    return t, W

# 参数设置
T = 1
N = 500

t, B = simulate_brownian_motion(T, N)

plt.plot(t, B, label="Brownian Motion")
plt.xlabel("Time $t$")
plt.ylabel("B(t)")
plt.title("Simulation of Standard Brownian Motion")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()