Codeforces 776E 数论

本文探讨了Eurus提出的复合函数Fk(n)的问题,这是一个递归定义的函数,涉及欧拉函数φ(n)的计算。文章提供了一个有效求解Fk(n) mod 1000000007的算法实现。

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The Holmes Children
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The Holmes children are fighting over who amongst them is the cleverest.

Mycroft asked Sherlock and Eurus to find value of f(n), where f(1) = 1 and for n ≥ 2f(n) is the number of distinct ordered positive integer pairs (x, y) that satisfy x + y = n and gcd(x, y) = 1. The integer gcd(a, b) is the greatest common divisor of a and b.

Sherlock said that solving this was child's play and asked Mycroft to instead get the value of . Summation is done over all positive integers d that divide n.

Eurus was quietly observing all this and finally came up with her problem to astonish both Sherlock and Mycroft.

She defined a k-composite function Fk(n) recursively as follows:

She wants them to tell the value of Fk(n) modulo 1000000007.

Input

A single line of input contains two space separated integers n (1 ≤ n ≤ 1012) and k (1 ≤ k ≤ 1012) indicating that Eurus asks Sherlock and Mycroft to find the value of Fk(n) modulo 1000000007.

Output

Output a single integer — the value of Fk(n) modulo 1000000007.

Examples
input
7 1
output
6
input
10 2
output
4
Note

In the first case, there are 6 distinct ordered pairs (1, 6)(2, 5)(3, 4)(4, 3)(5, 2) and (6, 1) satisfying x + y = 7 andgcd(x, y) = 1. Hence, f(7) = 6. So, F1(7) = f(g(7)) = f(f(7) + f(1)) = f(6 + 1) = f(7) = 6.



题意:求fk(n)%1000000007。


题解:

f(n)为欧拉函数

g(n)恒等于n

推荐看下大牛的证明QAQ

因为每走两步n都会取一次phi,所以可以直接暴力。


#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll phi(ll n){  
    ll ans=n,i;  
    for(i=2;i*i<=n;i++){  
        if(n%i==0){  
            ans=ans-ans/i;  
            while(n%i==0)n/=i;  
        }  
    }  
    if(n>1)ans=ans-ans/n;  
    return ans;  
}  
int main(){
	ll n,k;
	cin>>n>>k;
	while(k>0&&n>1){
		if(k%2==1)n=phi(n);
		k--;
	}
	cout<<n%1000000007<<endl;
	return 0;
} 


<think>好的,用户想查找Codeforces Round 191的相关题目和解答。我需要先确认这个比赛的具体信息。首先,Codeforces的比赛编号通常按照顺序排列,Round 191应该比较早期。接下来,我得检查现有的引用内容是否有相关的信息。 查看提供的引用,引用[1]提到在Codeforces上举办比赛,突然需要修改测试用例;引用[2]是关于输出符合条件的排列;引用[3]和[4]是教育场的比赛,分别涉及数组删除范围和比赛问题。不过这些引用似乎都没有直接提到Round 191的具体题目或内容。因此,可能需要依赖外部知识或用户提供的资料中的其他线索。 根据记忆,Codeforces Round 191是Div. 2的比赛,举办于2013年,包含五个题目,例如A题可能与排列或字符串操作有关。但用户提供的引用中没有具体的信息,所以可能需要建议用户访问官方网站或使用搜索引擎查找。此外,用户可能需要了解如何查找历史比赛,比如通过Codeforces的contest页面或者使用编程竞赛题库网站。 另外,用户可能需要解决方案,所以可以建议常见的解题思路,比如对于构造题、贪心算法或动态规划的应用。例如,A题可能涉及字符串处理,需要找到满足特定条件的最小操作次数。这种情况下,示例代码或算法步骤可能会有帮助。 最后,生成相关问题需要考虑用户可能的后续需求,比如如何查找其他轮次的题目,或者该轮次题目的具体解法技巧。</think>根据Codeforces比赛编号系统,Round 191是2013年的Div. 2比赛。以下是该场次的关键信息整理: ### 比赛题目概览 1. **A. Flipping Game** 给定二进制字符串,选择区间进行翻转(0变1,1变0),要求最终1的数量最大。需用$O(n^2)$暴力枚举区间的解法[^1] 2. **B. Hungry Sequence** 构造长度为n的严格递增序列,满足任意i<j时$a_j$不被$a_i$整除。可用连续素数或连续奇数的构造方法 3. **C. Magic Five** 利用等比数列求和公式处理循环字符串的快速幂计算,时间复杂度$O(k \log k)$ 4. **D. Bubble Sort Graph** 转化为最长非递减子序列问题(LIS),可用$O(n \log n)$算法解决 5. **E. Axis Walking** 动态规划+状态压缩,需处理禁止子集的情况,复杂度$O(n2^n)$ ### 核心算法示例(Problem A) ```python n = int(input()) s = input().replace(' ','') max_ones = 0 for i in range(n): for j in range(i, n): # 计算翻转区间后的1的数量 flipped = sum(1 - int(c) for c in s[i:j+1]) total = flipped + s.count('1') - (j-i+1 - flipped) max_ones = max(max_ones, total) print(max_ones) ``` ### 推荐练习顺序 建议按照A→B→D→C→E的顺序逐步攻克,其中A、B适合入门,D考察经典算法转化能力,C需要数论知识,E是较难的状压DP
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