基础假设检验

假设检验

一、假设检验的基本思想

运用试验结果对于一个命题的对错进行判断，假如试验结果与假设H发生矛盾就拒绝原假设H，否则就接受原假设.

二、假设检验的基本步骤

1、 建立假设

其中表示原假设，表示备择假设.

2、 选择检验统计量

选择一个合适的检验统计量，使当原假设成立时，该统计量的分布完全已知。

3、 选择显著性水平as

由于样本的随机性，我们做出的判断并不能保证结论完全正确，而是会犯错的.显著性水平的选择是为了控制我们犯错的概率尽量小，以保证检验的结果是可以接受的。统计学上最常用的显著性水平是0.05，有时也选择0.10或0.01.

4、 给出拒绝域

在确定显著性水平后，我们可以定出检验的拒绝域.

5、 作出判断

通过检验统计量判断样本是否属于拒绝域，若是，则拒绝原假设，否则接受原假设.

三、检验的p值

在一个假设检验问题中，利用样本观测值能够做出“拒绝原假设”这一判断的最小显著性水平，就是检验的p值.

下面通过例子来直观说明p值含义：

例1

生物学家要研究某种药物对小白鼠反应时间是否有影响，实验测得100只经过药物作用的小白鼠的平均反应时间是1.05秒，样本标准差为0.5秒.已知小白鼠在未经药物作用时的平均反应时间为1.20秒，问药物对小白鼠的反应时间有无影响？

解答该问题首先提出假设：

：药物对小白鼠反应时间无影响.  vs：药物对小白鼠反应时间有影响.

由已知条件我们可以推断正常的小白鼠反应时间总体服从均值为1.2，标准差为0.05的正态分布（如图1）.如果原假设成立，即药物对小白鼠的反应时间没有影响，那么小白鼠的反应时间应该和正常小白鼠一样服从图1所示的分布.

图1

然而我们通过实验得到的样本数据的均值为1.05，就是图中最左侧虚线的位置.这样问题就来了：在一个服从图1分布的正态总体中随机抽取一个样本，所抽取的样本均值为1.05的可能性有多大？

这个问题容易计算，只要将该均值和分布转化成标准正态分布的值，再查表就可以得出了.

这里我们不妨换一种思维方式来思考：样本均值（1.05）比总体均值（1.20）小了3倍标准差（0.05）的距离，这种事件发生的概率是非常小的，经过计算可得概率不超过0.3%，因此可以认为在这种分布下随机抽取出均值为1.05的样本的几乎是不可能的，这是一种极端的事件.之所以会出现这种极端事件是因为我们前面认为了原假设成立，而在统计推断时我们不希望这种极端事件的出现，因此根据样本数据我们只能拒绝原假设。

通过上述例子可以看出，p值的含义也可以理解为是在原假设成立的条件下，所抽取的样本事件发生的概率。

在上述问题中，当原假设成立时，样本均值大于1.35或小于1.05（图1中阴影部分）的概率经过计算可得不超过0.003，即p<0.003，也就是说如果我们通过实验得到一个样本均值落在阴影区域，这时应该拒绝原假设，否则的话我们所得到的样本数据就成了小概率事件（极端事件）.

通常在作推断时我们会事先设定一个门槛（比如显著性水平为0.05），如果p值小于这个门槛，也就是说原假设成立时样本发生的概率太小了，此时我们应做出拒绝原假设的推断。

四、单个正态总体均值的t检验

设是来自的样本，考虑如下三种关于的检验问题：

                                                                                         

其中是已知常数.这类问题需要对分已知和未知两种情况进行检验。已知时采用u检验法，未知时采用检验法.

两种方法所选择的检验统计量以及拒绝域的形式如表1.