51nod 1134 最长递增子序列（LIS优化）

最新推荐文章于 2024-01-17 21:35:00 发布

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#动态规划 #51nod #dp

本文介绍了一种求解最长递增子序列(LIS)问题的高效算法，并提供了两种实现方式：一种时间复杂度为n^2的传统DP方法，另一种通过使用lower_bound函数优化后的O(n log n)算法。后者通过保持递增子序列的最小可能值来更新或替换现有序列。

题目：给出长度为N的数组，找出这个数组的最长递增子序列。(递增子序列是指，子序列的元素是递增的）
例如：5 1 6 8 2 4 5 10，最长递增子序列是1 2 4 5 10。
Input
第1行：1个数N，N为序列的长度(2 <= N <= 50000)
第2 - N + 1行：每行1个数，对应序列的元素(-10^9 <= S[i] <= 10^9)
Output
输出最长递增子序列的长度。
Input示例

Output示例

LIS模板套的代码（时间超限，时间复杂度 n^2）：

#include<iostream>
using namespace std;

#define maxn 50000
int a[maxn]; 

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    int dp[maxn];
    for(int i = 1; i <= n; i++)
     cin >> a[i];
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
      dp[i] = 1;
      for(int j = 1; j <= i; j++){
        if(a[i] > a[j])
        dp[i] = max(dp[i] , dp[j] + 1);
      }
      ans = max (ans , dp[i]);
    }
    cout << ans << endl; 
    return 0;
}

LIS优化代码：
这个思路是，把最长递增子序列存在dp数组中，有一个大于这个数组最后一个元素的数，直接存放在这个数组后面，如果遇到一个小的数字，就把dp数组中第一个比它大的数字替换掉，这样得到的最长递增子序列是最长的且和为最小的子序列（十分精妙的思路）。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define maxn 50000
int a[maxn]; 

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    int dp[maxn];
    for(int i = 1; i <= n; i++)
     cin >> a[i];
    int ans = 0;
    int len = 1;
    dp[len] = a[1];
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        if(a[i] > dp[len]) dp[++len]  = a[i];
        else{
            int pos = lower_bound(dp+1 , dp+len , a[i])-dp;
                             //lower_bound（）函数是查找dp[]中第一个大于a[i]的数并返回这个数的下标。
                             //这个数组可以手动写出成函数封装起来
            dp[pos] = a[i];
        }
    }
    cout << len << endl;
    return 0;
}