【算法详解】LIS优化

LIS的暴力算法

我们知道，LIS（最长上升子序列，最长下降子序列，最长不上升子序列，最长不下降子序列）如果按照最初得方法做，我们设置的状态f[i]表示i结尾的最长LIS的长度，在枚举每一个数的时候都要向前找一个数字，那么这种方法是O(n^2).（具体讲解看这里）

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优化后的LIS

如果N≤700000呢？O（n^2）的算法显然是不符合要求的，我们可以考虑优化LIS的DP
我们以最长上升子序列为例：
我们设f[i]为长度为i的最长上升子序列结尾的最小个数.
那么，我们在枚举新的数字a[i]的时候,如果a[i]要比枚举的f[j]大，则说明以a[i]结尾必然能够形成长度为j+1的最长上升子序列.我们可以选择来模拟这个过程.
设这串序列为｛2,1,6,5,8,0,1,5,10｝
1.因为没有数字，f[]={2}
2.因为1比2小，1无法接在任何数字后面，所以替代2，f[]={1}
3.因为6比任何一个数都要大，所以接在最前面，f[]={1,6}
4.5可以接在1后面并且比6要小，以此代替6，f[]={1,5}
5.因为8比任何数要大，接在末尾，f[]={1,5,8}
6.0比任何数都要小，所以f[]={0,5,8}
7.1可以接在0后面，所以f[]={0,1,8}
8.5可以接在8后面，所以f[]={0,1,5}
9.10可以接在5后面，所以f[]={0,1,5,10}
因为f[4]不为0，说明可以构成长度为4的最长上升子序列，故答案为4
为什么我们要在新的数字要是f[]数组内的原有值最小？因为这样更可以让后面的数字构成最长上升组序列.因此我们需要在这个序列中查找，找到一个位置使得前面的数比它小并且后面的数字大于等于它，使得它能够覆盖这个数字.那么，这个算法的时间复杂度仍然后O(n^2)，显然无法优化.
不难发现，这个序列是单调递增的，那么我们便可以选择在查找