关于函数的递归

什么是递归？

在C语言中，函数递归就是函数自己调用自己。递归是一种解决问题的方法。

递归的和核心思想：大事化小，小事化了。

把大型的问题，转换成一个个与原问题相似，但是规模较小的子问题来解决，直到子问题不能再拆分递归就结束了。

递归的限制条件：1.递归有限制条件，满足这个条件的时候，递归不再继续。

                             2.每次递归都会越来越接近这个条件。

生活中最常见的，可以使用递归来解决的问题：求n的阶乘

求阶乘的公式：n ! = n * ( n - 1 )!

例如：求5的阶乘，5 ！= 5 * 4 * 3 * 2 * 1 

也可以写成：         5 ！ = 5 * 4 ！

也可以写成：         5 ！ = 5 * 4 * 3 ！

也可以写成：         5 ！ = 5 * 4 * 3 * 2！

也可以写成：         5 ！ = 5 * 4 * 3 * 2 * 1！

可以参考这个图：

由此图可以看看出：

大问题是n的阶乘，即：     n!

大问题拆分成小问题：       n * (n - 1)!

再拆分成小问题：               n * ( n - 1 ) * ( n - 2 )!

最后拆分到不能拆分：        n * ( n - 1 ) * ( n - 2 ) * 。。。。。。2 * 1

拆分的这个过程就叫做  “递”

接下来就要 “归” 了

如图：从头“递”到尾，而“归”是从尾往头。

算出2！————>算出3！————>算出4！。。。。。。。算出（n-2）!————>算出（n-1）!

—————>进而得到n的阶乘

从头“递”到尾，从尾往头“归”，这就是递归的全过程。

代码的实现思路：

我们可以定义一个函数 Fuction() 用来实现相关的计算

n=0时，1是递推的终止

n>0时，函数还在计算

所以可以分为两个步骤：

两个分支，可以用if语句

Function部分完整代码：

int Function(int n)//形式参数
{
	if (n == 0)
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		return n * Function(n - 1);
	}
}

main函数部分的完整代码：

int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int ret = Function(n);
	printf("%d\n", ret);
	return 0;
}

测试结果：

5的阶乘就是120，答案正确。

递归限制条件的重要作用：

限制条件不仅仅是判断一个问题能不能用“递归”的方法去解决，而且还是做题的关键。

我给出一个题目：拆分数字

能否用递归的方法解决？

假如要拆分123

123%10=3   123/10=12

12%10=2      12/10=1

1%10=1

由此可以看出 ，最后1<10的时候，就没办法计算下去了，也就相当于说，<10的数没办法再进行计算了。必须是10以上的数，也就是>9的数才能计算。

因此，满足<10的时候，递归结束，而且每次进行计算这个数都会越来越接近10。

因此，这个问题满足使用递归的要求，能够使用递归来解决

一样的，定义一个函数Function用来计算

void  Function(int n)
{
	if (n > 9)
	{
		Function(n / 10);                //123 / 10 = 12
	}
	printf("%d ", n % 10);              //123 % 10 = 3
}

main函数部分：

int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	Function(n);
	return 0;
}

测试结果：

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最终测试：求第n个斐波那契数

什么是斐波那契数列？

斐波那契数列是指这样一个数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……这个数列从第3项开始 ，每一项都等于前两项之和

思考

它是否能用递归？就看它满不满足两个限制条件

设第n个斐波那契数是Fib(n)

斐波那契数列公式：Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)

我们发现，递推到Fib(1)就结束递推，而且每一次递推都接近Fib(1)，满足了使用递归的两个条件

定义一个Fib函数用来计算。

以Fib(1) = 1作为数列的开始，那么 Fib(0) = 0，这样方便计算

int Fib(int n)
{
	if (n == 0)
	{
		return 0;//Fib(0)
	}
	else if(n == 1)
	{
		return 1;//Fib(1)
	}
	else
	{
		return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
	}
}

main函数部分：

int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int ret = Fib(n);
	printf("%d", ret);
	return 0;
}

整体实现效果：

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总结：拿到一个题目，若想判断其是否能使用递归，将它进行拆分计算，看看是否符合条件。

如若符合条件，此条件可以作为解题的关键，从而去使用，达到解题的目的。