母函数应用实例-优快云博客

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本文介绍了母函数的概念及其在解决组合数学问题中的应用。通过多个实例展示了如何利用母函数解决复杂计数问题，包括砝码组合及数列求解。

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数学工具—母函数

母函数也叫生成函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种，其中普通型用的比较多。形式上说，普通型生成函数用于解决多重集的组合问题，而指数型母函数用于解决多重集的排列问题。母函数还可以解决递归数列的通项问题（例如使用母函数解决斐波那契数列的通项公式）。

定义

(1).设 $u=(u_i)_{i\geq0}=(u_0,u_1,u_2,\ldots,u_n)$ 是一无限序列，则形式幂级数

u (t) = \sum i \geq 0 u i t i

$u(t)=\sum_{i\geq0}u_it^i$
为数列

u u $u$ 的普通型母函数，简称普母函数或母函数；而称形式幂级数

e^{u t} = \sum_{i \geq 0} u_{i} * \frac{t^{i}}{i!}

$e^{ut} = \sum_{i\geq0}u_i*\frac{t^i}{i!}$
为数列

u u $u$ 的指数型母函数，简称指母函数。
当每一项相等时，级数相等。

u_{i} = v_{i} (i \geq 0)

$u_i=v_i(i\geq0)$

(2).数 $a$ 对形式幂级数 $u(t)=\sum_{i\geq0}(u_it^i)$ 的数乘定义

a * u (t) = \sum i \geq 0 a u i t i

$a*u(t)=\sum_{i\geq0}au_it^i$
形式幂级数

u(t) u ( t ) $u(t)$ 和

v(t) v ( t ) $v(t)$ 相加、相乘:

u (t) + v (t) = \sum i \geq 0 (u i + v i) t i

$u(t)+v(t) = \sum_{i\geq0}(u_i+v_i)t^i$

u (t) v (t) = \sum k \geq 0 (\sum i + j = k u i * v j) t i

$u(t)v(t)= \sum_{k\geq0}( \sum_{i+j=k}u_i*v_j)t^i$ 以上三式分别叫做数乘法，加法，乘法，将全体形式幂级数所组成的集记为

E E $E$ ，对于指母函数，

e^{u t} * e^{v t} = \sum_{i \geq 0} u_{i} * \frac{t^{i}}{i!} * \sum_{j \geq 0} v_{i} * \frac{t^{j}}{j!} = \sum_{k \geq 0} (\sum_{i + j = k} \frac{u_{i}}{i!} * \frac{v_{j}}{j!}) t^{k} = \sum_{k \geq 0} (\sum_{0 \leq i \leq k} (\binom{k}{i}) u_{i} v_{k - i}) \frac{t^{k}}{k!}

$e^{ut}*e^{vt}=\sum_{i\geq0}u_i*\frac{t^i}{i!}*\sum_{j\geq0}v_i*\frac{t^j}{j!}=\sum_{k\geq0}(\sum_{i+j=k}\frac{u_i}{i!}*\frac{v_j}{j!})t^k=\sum_{k\geq0}(\sum_{0\leq{i}\leq{k}}{k \choose i}u_iv_{k-i})\frac{t^k}{k!}$
为数列

∑0≤i≤k(ki)uivk−i ∑ 0 ≤ i ≤ k ( k i ) u i v k − i $\sum_{0\leq{i}\leq{k}}{k \choose i}u_iv_{k-i}$ ,

(k≥0) ( k ≥ 0 ) $(k\geq0)$ 的母函数。

Blissard记号：

(u + v) 0 = u 0 v 0

$(u+v)^0 = u_0v_0$

(u + v) k = \sum 0 \leq i \leq k (k i) u i v k - i

$(u+v)^k = \sum_{0\leq i\leq k}{k \choose i}u_iv_{k-i}$
记:

ui=ui,vi=vi u i = u i , v i = v i $u^i=u_i, v^i=v_i$
则:

eutevt=e(u+v)t e u t e v t = e ( u + v ) t $e^{ut}e^{vt}=e^{(u+v)t}$

注意：

(u + u) n = \sum 0 \leq k \leq n (n k) u n - k u k = \sum 0 \leq k \leq n (n k) u n = 2 n u n

$(u+u)^n = \sum_{0\leq k \leq n}{n \choose k}u^{n-k}u_k=\sum_{0\leq k \leq n}{n \choose k}u^n=2^nu_n$

(u + u) n = (2 n) n = 2 n u n = 2 n u n

$(u+u)^n = (2n)^n=2^nu^n=2^nu_n$

例1：

u i = {10 \leq i \leq n 0 o t h e r w i s e

$u_i = \begin{cases} 1\quad 0\leq i \leq n\\0 \quad otherwise\\ \end{cases}$ 则：

u (t) = \sum i \geq 0 u i t i = 1 + t + t 2 + \dots + t n = 1 - t n + 1 1 - t

$u(t)=\sum_{i\geq0}u_it^i=1+t+t^2+{\cdots}+t^n=\frac{1-t^{n+1}}{1-t}$

例2：

a (t) = \sum i a i t i 和 b (t) = \sum i b i t i 适 合 a (t) = b (t) (1 - t)

$a(t) = \sum_ia_it^i和b(t)=\sum_ib_it^i适合a(t)=b(t)(1-t)$ 则：

u i = {a k = b k - b k - 1 = Δ b k k > 0 a 0 = b 0

$u_i = \begin{cases} a_k=b_k-b_{k-1}=\Delta b_k\quad k>0\\ a_0=b_0\\ \end{cases}$

例3：

若有一克砝码3枚，两克砝码4枚，四克砝码2枚，问可称出哪些重量？各有几种称法？

解：

(1 + x + x 2 + x 3) (1 + x 2 + x 4 + x 6 + x 8) (1 + x 4 + x 8)

$(1+x+x^2+x^3)(1+x^2+x^4+x^6+x^8)(1+x^4+x^8)$
其中，第一项代表一克砝码的放法，不放就用

x0 x 0 $x^0$ 表示也就是1，放一个为

x1 x 1 $x^1$ ，以此类推。其中，指数代表放入的重量。
我们可以将上式展开，得：

1 + x + 2 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 6 + 5 x 8 + 3 x 5 + 4 x 7 + 5 x 9 + 5 x 10 + 5 x 11 + 4 x 12 + 3 x 14 + 2 x 16 + 4 x 13 + 3 x 15 + 2 x 17 + x 18 + x 19

$1+x+2x^2+2x^3+3x^4+4x^6+5x^8+3x^5+4x^7+5x^9+5x^{10}+5x^{11}+4x^{12}+3x^{14}+2x^{16}+4x^{13}+3x^{15}+2x^{17}+x^{18}+x^{19}$ 那么：指数代表可以放入的重量，系数代表其重量的称法数量。

又例：

设有1，2，4，8，16，32克砝码各一个，则可称出1~63克中每一个质量，并且称法唯一。

接下来，给出一个母函数例：

求下列方程：（即为方程找到母函数）

$a_n = a_{n-1}+2(n-1)$
$a_0 = 2$
母函数：

\sum n = 1 \infty a n x n = \sum n = 1 \infty a n - 1 x n + 2 \sum n = 1 \infty (n - 1) x n

$\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n-1}x^n+2\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)x^n$

A (x) - a 0 = x A (x) + 2 x 2 ( 1 - x ) 2 a 0 = 2

$A(x)-a_0 = xA(x)+\frac{2x^2}{(1-x)^2} \quad \quad a_0=2$ 化简后可得：

A (x) = 2 x 2 ( 1 - x ) 3 + 2 1 - x

$A(x)=\frac{2x^2}{(1-x)^3}+\frac{2}{1-x}$ 对于上式第一项：

1(1−x)3 1 ( 1 − x ) 3 $\frac{1}{(1-x)^3}$ 之下

xn−2 x n − 2 $x^{n-2}$ 系数为

[1(1−x)3]n−2(n−2)!=3∗4∗5∗⋯∗n(n−2)!=n(n−1)2 [ 1 ( 1 − x ) 3 ] n − 2 ( n − 2 ) ! = 3 ∗ 4 ∗ 5 ∗ ⋯ ∗ n ( n − 2 ) ! = n ( n − 1 ) 2 $\frac{[\frac{1}{(1-x)^3}]^{n-2}}{(n-2)!}=\frac{3*4*5*{\cdots}*n}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}$

对于上式第二项： $\frac{1}{1-x}$ 之 $x^n$ 系数为 $1$