经典算法题：数字三角形寻找最大路径

题目：数字三角形,从顶部出发,在每一结点可以选择向左走或得向右走,一直走到底层,要求找出一条路径，该路径上的数字和最大，输出这个最大值。

（1）样例输入：
第一行是数塔层数N(1<=N<=100)。
第二行起，从一个数字按数塔图形依次递增，共有N层。
5
13
11 8
12 7 26
 6 14 15 8
12 7 13 24 11

思路：递归解决

用二维数组 d[ l ][ r ] 存数字三角形

 if ( l  ==  n) maxSum( l , r ) = d [ l ][ r ] ;

 else maxSum ( l , r ) = max { maxSum( l+1, r ) , maxSum( l+1, r+1 ) }

很简单呀

代码如下：

[cpp]  view plain  copy

1. #include <iostream>  
2. #include <algorithm>  
3.   
4. using namespace std;  
5.   
6. #define MAX 101  
7.   
8. int d[MAX][MAX];  
9. int n;  
10.   
11. int MaxSum(int l,int r)  
12. {  
13.   
14.     if(l==n)  
15.         return d[l][r];  
16.     else  
17.         return max(MaxSum(l+1,r),MaxSum(l+1,r+1))+d[l][r];  
18.   
19. }  
20.   
21. int main()  
22. {  
23.   
24.     cin >> n;  
25.   
26.     for(int i=1;i<=n;i++)  
27.         for(int j=1;j<=i;j++)  
28.             cin >> d[i][j];  
29.     cout << MaxSum(1,1) << endl;  
30.   
31.     return 0;  
32.   
33. }  

好了，数据量大一点的时候，就华丽丽的超时了

分析一下时间复杂度，发现是 O（2^n），原因是

会 重 复 计 算 maxSum (r,l) 的值！

————————————————————————————————————————————————————————————————————————————

优化：（记忆递归型动态规划）

思路：那就把计算结果存下来嘛。

代码如下：

[cpp]  view plain  copy

1. #include <iostream>  
2. #include <algorithm>  
3.   
4. using namespace std;  
5.   
6. #define MAX 101  
7.   
8. int d[MAX][MAX];  
9. int n;  
10. int maxSum[MAX][MAX];  
11.   
12. int MaxSum(int i,int j)  
13. {  
14.     if(maxSum[i][j]!=-1)  
15.         return maxSum[i][j];  
16.     if(i==n)  
17.         maxSum[i][j] = d[i][j];  
18.     else  
19.         maxSum[i][j] = max(MaxSum(i+1,j),MaxSum(i+1,j+1)) + d[i][j];  
20.   
21.     return maxSum[i][j];  
22. }  
23.   
24.   
25. int main()  
26. {  
27.   
28.     cin >> n;  
29.   
30.     for(int i=1;i<=n;i++)  
31.         for(int j=1;j<=i;j++){  
32.             cin >> d[i][j];  
33.             maxSum[i][j]=-1;  
34.         }  
35.   
36.     cout << MaxSum(1,1) << endl;  
37.   
38.     return 0;  
39. }  

算法时间复杂度成功变成 O（n^2）;

不过递归还是慢一点，继续优化！