算法分析与设计第十七周

习题8.3——证明吝啬SAT问题是NP完全问题
问题描述：给定一组子句（每个子句都是其中文字的析取）和整数k，求一个最多有k个变量为true的满足赋值——如果该赋值存在。证明吝啬SAT问题为NP完全问题。

显然吝啬SAT问题是NP问题，因为可以代入可能的解即可判断是否满足，时间是多项式的。已知SAT是NP完全问题，所以证明的关键是可以在多项式时间内将SAT规约到吝啬SAT。
证明如下：
对于任何SAT中的实例I（文字个数为n），定义f(I)为这样的映射：f(I)为具有SAT问题的形式，且文字数为k，且k≥n
此时f(I)即为吝啬SAT的实例。对于f(I)，若有解s，令h（s）为这样的映射：h（s）为s中n个变量取true，n≤k。
显然，s存在，则h（s）存在，即吝啬SAT问题有解，则SAT问题有解。若s不存在，则SAT问题也不存在解。
可以看到，映射f和h都是多项式复杂度的，所以SAT可以规约到吝啬SAT.由于SAT问题是NP完全的，所以吝啬SAT也是NP完全问题。