无符号整形的加减乘除运算

（1）无符号整形加法：

对于32位表示的任意无符号整形x（x_w-1…x₀），有x∈[0, 2^w-1]，则s=a+b∈[0, 2^w+1-2]，所以

1、当s∈[0, 2^w-1]时，未发生溢出，s=a+b

2、当s∈[2^w,2^w+1-2]时，发生了正溢出，由于无符号整形只能由32位表示，所以当溢出发生时需要截断到32位，舍弃第w位，此时s=(a+b)%2^w，即s=a+b-2^w

 

那么，怎么判断两个无符号整形“+”操作发生了溢出？

 

当发生溢出时，s=a+b-2^w∈[0, 2^w-2]，所以s≥0；另外，由于a、b∈[0, 2^w-1]，所以s=a+b-2^w < a

 

代码表示为

bool is_overflow(unsigned a, unsigned b)

{

unsigned s = a + b;

return s < a;

}

 

（2）无符号整形减法：

对于32位表示的任意无符号整形x（x_w-1…x₀），有x∈[0, 2^w-1]，假设x的加法逆元是-x，则-x可以表示为

（I）-x=0，x=0

（II）-x=2^w-x

 

则对于z=x-y，可以认为z=-y+x，则无符号整型的减法运算可以转换为无符号整型的加法运算。

 

（3）无符号整型的乘法运算：

对于32位表示的任意无符号整形x和y，设z=x*y，则z∈[0，(2^w-1)²]，要完整的表示z需要2w位，此时会发生溢出，操作系统会将z截断至w位，因此有

z =（x*y）mod2^w。

 

（4）无符号整型的除法运算：

对于除法运算，需要注意的是被除数不能为0（这种情况不会视为溢出，而是作为异常中断来处理），且除法的结果总是舍入到0。