考虑如下的线性时不变系统:
x˙=Ax+Bu(1)y=Cx+Du(2) \dot{x} = Ax + Bu \qquad (1) \\ y = Cx + Du \qquad (2) x˙=Ax+Bu(1)y=Cx+Du(2)
(注: 矩阵或向量上的 " * " 均代表转置)
定理 1 下列命题等价:
- (i) (A,B)(A, B)(A,B) 可控;
- (ii) 对任意的 t≥0t\geq 0t≥0, 矩阵 Wc(t):=∫0teAτBB∗eA∗τdτW_{c}(t):=\int_{0}^{t} e^{A \tau} B B^{*} e^{A^{*} \tau} d \tauWc(t):=∫0teAτBB∗eA∗τdτ 正定;
- 可控性矩阵 C=[BABA2B…An−1B]\mathcal{C}=\left[\begin{array}{lllll}{B} & {A B} & {A^{2} B} & {\ldots} & {A^{n-1} B}\end{array}\right]C=[BABA2B…An−1B] 行满秩, 即 ⟨A∣ImB⟩:=∑i=1nIm(Ai−1B)=Rn\langle A | I m B\rangle:=\sum_{i=1}^{n} \operatorname{Im}\left(A^{i-1} B\right)=\mathbb{R}^{n}⟨A∣ImB⟩:=∑i=1nIm(Ai−1B)=Rn;
- 对所有的 λ∈C\lambda \in \mathbb{C}λ∈C, 矩阵 [A−λI,B][A-\lambda I, B][A−λI,B] 行满秩;
- 设 λ\lambdaλ 和 ccc 为矩阵
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