划分树 详解及模板

划分树是一种优化区间查询的数据结构,通过构造树形结构将时间复杂度从O(q*n*log(n))降低到O(q*log(n))。建树时需平衡左右子树,确保元素均匀分布。在处理特殊数据时,预先假设中值左侧元素小于中值,并使用flag标记跟踪中值数量。查询时借助cnt数组记录每层进入左子树的元素个数,辅助定位查询区间。

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划分树的目的:求区间内第K大数。对于此类问题,暴力的话直接对区间进行sort,但是时间复杂度很高,如果q次查询的话嘛,时间复杂度 O(qnlog(n)) O ( q ∗ n ∗ l o g ( n ) )
为了降低时间复杂度,我们采取将数组构造成树的形式,这样,时间复杂度能降到 log(n) l o g ( n ) ,但是空间复杂度为 nlog(n) n ∗ l o g ( n ) .
建树规则为:小于等于中位数的放在左子树,大于中位数的放在右子树,以 19 1 − 9 的随机数组为例,建树方式如下:
这里写图片描述

这样,我们查询的时候只需要对构造好的树像线段树一样,不断向下递归到指定区间即可
需要注意的是以下几点

  • 划分树的构造需要平衡左右子树的元素个数,也就是说,如果是

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